WikiDer > Категория Гротендика

Grothendieck category

В математика, а Категория Гротендика это определенный вид абелева категория, введенный в Александр Гротендикс Бумага Тохоку 1957 года[1] с целью развития техники гомологическая алгебра за модули и для снопы единым образом. Теория этих категорий получила дальнейшее развитие в Пьер ГабриэльОсновополагающая диссертация 1962 года.[2]

Каждому алгебраическое многообразие можно связать категорию Гротендика , состоящий из квазикогерентные пучки на . Эта категория кодирует всю соответствующую геометрическую информацию о , и можно восстановить из Теорема реконструкции Габриэля – Розенберга). Этот пример дает начало одному подходу к некоммутативная алгебраическая геометрия: изучение «некоммутативных многообразий» есть не что иное, как изучение (определенных) категорий Гротендика.[3]

Определение

По определению категория Гротендика является Категория AB5 с генератор. По буквам это означает, что

  • является абелева категория;
  • каждое (возможно бесконечное) семейство объектов в имеет сопродукт (также известная как прямая сумма) в ;
  • прямые ограничения из короткие точные последовательности точны; это означает, что если прямая система короткие точные последовательности в задана, то индуцированная последовательность прямых пределов также является короткой точной последовательностью. (Прямые ограничения всегда точно вправо; здесь важно то, что мы требуем, чтобы они точно слева также.)
  • имеет генератор, т.е. есть объект в такой, что это верный функтор из к категория наборов. (В нашей ситуации это равносильно утверждению, что каждый объект из признает эпиморфизм , куда обозначает прямую сумму копий , по одному на каждый элемент (возможно, бесконечного) множества .)

Название «категория Гротендика» также не появлялось в газете Тохоку Гротендика.[1] ни в тезисе Габриэля;[2] он стал использоваться во второй половине 1960-х годов в работах нескольких авторов, в том числе Яна-Эрика Рооса, Бо Стенстрёма, Ульриха Оберста и Бодо Парейгиса. (Некоторые авторы используют другое определение, не требующее наличия генератора.)

Примеры

  • Типичным примером категории Гротендика является категория абелевых групп; абелева группа целых чисел может служить генератором.
  • В более общем плане, учитывая любые звенеть (ассоциативный, с , но не обязательно коммутативной), категория всего справа (или альтернативно: слева) модули над категория Гротендика; сам по себе может служить генератором.
  • Учитывая топологическое пространство , категория всех снопы абелевых групп на является категорией Гротендика.[1] (В более общем смысле: категория всех связок правых -модули на является категорией Гротендика для любого кольца .)
  • Учитывая окольцованное пространство , категория снопы ОИкс-модули является категорией Гротендика.[1]
  • Учитывая (аффинное или проективное) алгебраическое многообразие (или в более общем смысле: любой схема), категория из квазикогерентные пучки на является категорией Гротендика.
  • Учитывая небольшой сайт (C, J) (т.е. малая категория C вместе с Топология Гротендика J) категория всех пучков абелевых групп на сайте является категорией Гротендика.

Построение дополнительных категорий Гротендика

  • Любая категория, которая эквивалент в категорию Гротендика сама является категорией Гротендика.
  • Учитывая категории Гротендика , то Категория продукта является категорией Гротендика.
  • Учитывая малая категория и категория Гротендика , то категория функторов , состоящий из всех ковариантные функторы из к , является категорией Гротендика.[1]
  • Учитывая небольшой предаддитив категория и категория Гротендика , категория функторов всех аддитивных ковариантных функторов из к является категорией Гротендика.[4]
  • Если является категорией Гротендика и это локализация подкатегории из , то оба и Факторная категория Серра категории Гротендика.[2]

Свойства и теоремы

Каждая категория Гротендика содержит инжекторный когенератор. Например, инъективным когенератором категории абелевых групп является факторгруппа .

Каждый объект в категории Гротендика имеет инъективная оболочка в .[1][2] Это позволяет построить инъективные разрешения и тем самым использование инструментов гомологическая алгебра в , чтобы определить производные функторы. (Обратите внимание, что не все категории Гротендика позволяют проективные резолюции для всех объектов; примерами являются категории пучков абелевых групп во многих топологических пространствах, например в пространстве действительных чисел.)

В категории Гротендика любая семья подобъекты данного объекта имеет супремум (или "сумма") а также инфимум (или «перекресток») , оба из которых снова являются подобъектами . Далее, если семья направлен (т.е. для любых двух объектов в семействе существует третий объект в семействе, который содержит два), и еще один подобъект , у нас есть[5]

Категории Гротендика: хорошо питаемый (иногда называют местно маленький, хотя этот термин также используется для другой концепции), т.е. совокупность подобъектов любого данного объекта образует набор (а не правильный класс).[4]

Это довольно глубокий результат, что каждая категория Гротендика является полный,[6] то есть этот произвольный пределы (и в частности товары) существуют в . Напротив, прямо из определения следует, что ко-полным, т. е. произвольный копределы и побочные продукты (прямые суммы) существуют в . Копродукции в категории Гротендика точны (т. Е. Копроизведение семейства коротких точных последовательностей снова является короткой точной последовательностью), но продукты не обязательно должны быть точными.

Функтор из категории Гротендика в произвольную категорию имеет левый смежный тогда и только тогда, когда он коммутирует со всеми пределами, и он имеет правый сопряженный, если и только если он коммутирует со всеми копределами. Это следует из Питер Дж. Фрейдс специальная теорема о сопряженном функторе и его двойственный.[7]

В Теорема Габриэля – Попеску утверждает, что любая категория Гротендика эквивалентно полная подкатегория категории правых модулей над некоторым унитальным кольцом (который можно принять за кольцо эндоморфизмов генератора ), и можно получить как Фактор Габриэля из некоторыми локализация подкатегории.[8]

Как следствие Габриэля-Попеску, можно показать, что каждая категория Гротендика местный презентабельный.[9] Более того, с помощью Габриэля-Попеску можно увидеть, что каждая категория Гротендика является полной, будучи отражающая подкатегория полной категории для некоторых .

Каждая малая абелева категория может быть встроен в категорию Гротендика следующим образом. Категория из точно слева аддитивные (ковариантные) функторы (куда обозначает категория абелевых групп) - категория Гротендика, а функтор , с , полный, верный и точный. Генератор дается совместным произведением всех , с .[2] Категория эквивалентно категории из инд-объекты из и вложение соответствует естественному вложению . Поэтому мы можем рассматривать как совместное завершение .

Особые виды предметов и категории Гротендика

Объект в категории Гротендика называется конечно порожденный если, когда записывается как сумма семейства подобъектов , то это уже сумма конечного подсемейства. (В случае категорий модулей, это понятие эквивалентно известному понятию конечно порожденные модули.) Эпиморфные образы конечно порожденных объектов снова конечно порождены. Если и оба и конечно порождены, то и . Предмет конечно порождена тогда и только тогда, когда для любой направленной системы в в котором каждый морфизм является мономорфизмом, естественный морфизм является изоморфизмом.[10] Категория Гротендика не обязательно должна содержать ненулевые конечно порожденные объекты.

Категория Гротендика называется локально конечно порожденный если он имеет набор конечно порожденных генераторов (т.е. если существует семейство конечно генерируемых объектов, так что каждому объекту существуют и ненулевой морфизм ; эквивалентно: является эпиморфным образом прямой суммы копий ). В такой категории каждый объект представляет собой сумму своих конечно порожденных подобъектов.[4] Каждая категория локально конечно порожден.

Объект в категории Гротендика называется конечно представленный если он конечно порожден и если каждый эпиморфизм с конечно порожденной областью имеет конечно порожденное ядро. Опять же, это обобщает понятие конечно представленные модули. Если и оба и конечно представлены, то также . В локально конечно порожденной категории Гротендика , конечно представленные объекты можно охарактеризовать следующим образом:[11] в конечно представима тогда и только тогда, когда для каждой ориентированной системы в , естественный морфизм является изоморфизмом.

Объект в категории Гротендика называется последовательный если он конечно представим и каждый из его конечно порожденных подобъектов конечно представим.[12] (Это обобщает понятие когерентные пучки на окольцованном пространстве.) Полная подкатегория всех когерентных объектов в абелев и функтор включения точный.[12]

Объект в категории Гротендика называется Нётерян если набор его подобъектов удовлетворяет условие возрастающей цепи, т.е. если каждая последовательность подобъектов со временем становится неподвижным. Это так, если и только если каждый подобъект X конечно порожден. (В случае , это понятие эквивалентно известному понятию Нётеровские модули.) Категория Гротендика называется местно нётерский если он имеет набор генераторов Нетерова; примером является категория левых модулей над левымКольцо Нётериана.

Примечания

  1. ^ а б c d е ж Гротендик, Александр (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Математический журнал Тохоку, (2), 9 (2): 119–221, Дои:10.2748 / tmj / 1178244839, МИСТЕР 0102537. английский перевод.
  2. ^ а б c d е Габриэль, Пьер (1962), "Des catégories abéliennes" (PDF), Бык. Soc. Математика. Пт., 90: 323–448, Дои:10.24033 / bsmf.1583
  3. ^ Изуру Мори (2007). «Квантовые линейчатые поверхности» (PDF).
  4. ^ а б c Вера, Карл (1973). Алгебра: кольца, модули и категории I. Springer. С. 486–498. ISBN 9783642806346.
  5. ^ Stenström, Prop. V.1.1
  6. ^ Stenström, Cor. X.4.4
  7. ^ Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для рабочего математика, 2-е издание. Springer. п. 130.
  8. ^ Попско, Николае; Габриэль, Пьер (1964). "Caractérisation des catégories abéliennes avec générateurs et limites индуктивно exactes". Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 258: 4188–4190.
  9. ^ Шловичек, Ян (01.01.2013). «Деконструируемость и лемма Хилла в категориях Гротендика». Форум Mathematicum. 25 (1). arXiv:1005.3251. Bibcode:2010arXiv1005.3251S. Дои:10.1515 / FORM.2011.113. S2CID 119129714.
  10. ^ Stenström, Prop. V.3.2
  11. ^ Stenström, Prop. V.3.4
  12. ^ а б Герцог, И. (1997). "Спектр Циглера локально когерентной категории Гротендика". Труды Лондонского математического общества. 74 (3): 503–558. Дои:10.1112 / S002461159700018X.

Рекомендации

внешняя ссылка