WikiDer > Cauchy-Verteilung

In dem Wahrscheinlichkeit ist der Cauchy-Verteilung die Verteilung einer bestimmten Klasse von stochastische Variablen, genannt Cauchy-Variablen (nach Augustin Louis Cauchy). Die Leute reden auch über Lorentz-Verteilung oder Lorentzian, nach dem niederländischen Physiker HA. Lorentz. Die Cauchy-Verteilung ist eine symmetrische Verteilung mit schwereren Schwänzen als die Normalverteilung. Eine auffallende Eigenschaft der Cauchy-Verteilung ist, dass der Erwartungswert dieser Verteilung unbestimmt ist, also auch alle anderen Momente unbestimmt sind. Daher verbessert die Mittelung mehrerer unabhängiger Ziehungen im Gegensatz zu vielen anderen Verteilungen die Genauigkeit nicht.

Definition

Die blaue Kurve repräsentiert die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standard-Cauchy-Verteilung. Die rote Kurve ist die Verteilungsfunktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ${displaystyle f}$ der Standard-Cauchy-Verteilung ist gegeben durch:

${displaystyle f(x)={1 über pi (1 x^{2})}}$

Die Standard-Cauchy-Verteilung ist um 0 symmetrisch und hat ein "Halbwertsmaximum" von 1. Eine allgemeinere Version der Cauchy-Verteilung hat einen einstellbaren Platzparameter ${displaystyle x_{0}}$ und ein Skalenparameter ${Displaystil-Gamma }$. Die Wahrscheinlichkeitsdichte dieser Cauchy-Verteilung ist gegeben durch:

${displaystyle f(x;x_{0},gamma )={frac {1}{gamma pi left(1 ({frac {x-x_{0}}{gamma }})^{2}ight)}}}$

Verteilungsfunktion

Aus der Definition der Wahrscheinlichkeitsdichte folgt einfach, dass für die Verteilungsfunktion:

${displaystyle F(x)={1 über pi}arctan(x) { frac {1}{2}}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Cauchy-Variable ${Anzeigestil X}$ nimmt Werte im Intervall an ${Anzeigestil (a,b)}$, ist deshalb:

${displaystyle P(a$

Eigenschaften

Der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte der Cauchy-Verteilung ist dem der Normalverteilung, aber seine statistischen Eigenschaften unterscheiden sich stark davon. Insbesondere hat eine Cauchy-Variable kein erwarteter Wert (und kein anderer Moment). Das Verhältnis zweier normalverteilter Standardvariablen hat eine Cauchy-Verteilung.

Die cauchy-Verteilung entspricht der Schülerverteilung (t-Verteilung) mit 1 Freiheitsgrad.

Siehe auch

• Kurve von Agnesia