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Das t-Verteilung, ebenfalls Schülerverteilung benannt (nach dem Pseudonym "Student" von William Sealy Gosset), ist ein Wahrscheinlichkeitsverteilung die aus dem abgeleitet ist Normalverteilung und verbunden mit der Verteilung der skalierten Stichprobenmittelwert von einem zufälligen Stichprobe von einem Normalverteilung. Es ist die Verteilung der Teststatistik ${Anzeigestil T}$ des t-test. wenn ${displaystyle X_{1},ldots ,X_{n}}$ ein zufällig Stichprobe stammt aus einer Normalverteilung mit erwarteter Wert${Anzeigestil mu}$ und Standardabweichung${Displaystil-Sigma}$, dann ist:

${displaystyle T={frac {{ ar {X}}-mu }{S/{sqrt {n}}}}}$

Die Verteilung von ${Anzeigestil T}$ heißt a t-Verteilung mit ${Anzeigestil n-1}$ sogenannt Freiheitsgrade.

Beachten Sie, dass ${Anzeigestil T}$ sehr ähnlich dem standardisierten Stichprobenmittelwert${displaystyle {ar {X}}}$:

${displaystyle {frac {{ ar {X}}-mu }{sigma /{sqrt {n}}}},}$

die standardnormalverteilt ist und in der sozusagen die Standardabweichung ${Displaystil-Sigma}$ wurde durch die Stichprobenstandardabweichung ersetzt ${Anzeigestil S}$. Jetzt ist

${displaystyle (n-1){frac {S^{2}}{sigma ^{2}}}}$

Chi-Quadrat mit ${Anzeigestil n-1}$ Freiheitsgrade und sind ${displaystyle {ar {X}}}$ und die Stichprobenvarianz ${Displaystil S^{2}}$ voneinander unabhängig. Daher definiert man allgemein:

Definition

Das t-Verteilung mit ${displaystyle n}$Freiheitsgrade ist die Verteilung der Menge:

${displaystyle T_{n}={frac {Z}{sqrt {chi_{n}^{2}/n}}}}$,

in welchem ${Anzeigestil Z}$ und ${displaystyle chi_{n}^{2}}$ voneinander unabhängig stochastische Variablen sind jeweils standardnormalverteilt und Chi-Quadrat mit ${displaystyle n}$ Freiheitsgrade.

Zufallsdichte

Die Grafik des Wahrscheinlichkeitsdichte der t-Verteilung hat eine sehr ähnliche Form wie die Standardnormalverteilung, ist aber etwas "breiter". Je kleiner die Freiheitsgrade, desto 'breiter' der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte.

Vor dem ${displaystyle n}$ Freiheitsgrade wird zu diesem Wahrscheinlichkeitsdichtewortt ${displaystyle f_{n}}$ gegeben von:

${displaystyle f_{n}(x)={frac {Gamma ({frac {n 1}{2}})}{{sqrt {npi}},Gamma ({frac {n}{2}})}}links (1 {frac {x^{2}}{n}}Nacht)^{-{frac {n 1}{2}}}}$

Darin ist ${Anzeigestil Gamma }$ das Gamma-Funktion.

Graph der Wahrscheinlichkeitsdichten der Student-Verteilung für verschiedene Freiheitsgrade ${displaystyle k}$. Für den Wert Unendlichkeit (unendlich), d.h. im Grenzfall entspricht die Dichte einer Standardnormalverteilung

Der Sonderfall ${Anzeigestil n=1}$ heiß Cauchy-Verteilung.

Das erwarteter Wert existiert für ${Anzeigestil n>1}$ und ist gleich 0.De Abweichung existiert für ${Anzeigestil n>2}$ und ist gleich ${displaystyle { frac {n}{n-2}}}$.

Tabelle der kritischen t-Werte

Die folgende Tabelle gibt für verschiedene Freiheitsgrade an ${displaystyle u}$ und eine Reihe von Rechtskreuzungschancen ${displaystyle alpha }$, der entsprechende kritische Wert ${displaystyle t_{alpha ,u }}$, gemäß:

${Anzeigestil P(T_{u}geq t_{alpha,u})=alpha}$

in welchem ${displaystyle T_{u}}$ t-dividiert mit ${displaystyle u}$ Freiheitsgrade.

Bei vielen Freiheitsgraden gibt die letzte Zeile der Tabelle die ungefähren kritischen Werte des Standards an Normalverteilung, die als kritische Werte für unendlich viele Freiheitsgrade angesehen werden können.

Die Werte aus der Tabelle können auch mit Hilfe von Tabellenkalkulationen (Office Excel, OpenOffice Calc, etc.) berechnet werden. Die relevante Tabellenkalkulationsfunktion ist T.INV(α_2-seitig,ν).

ν	α
	25%	20%	15%	10%	5%	2,5%	1%	0,5%	0,25%	0,1%	0,05%
1	1,000	1,376	1,963	3,078	6,314	12,71	31,82	63,66	127,3	318,3	636,6
2	0,816	1,061	1,386	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	14,09	22,33	31,60
3	0,765	0,978	1,250	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	7,453	10,21	12,92
4	0,741	0,941	1,190	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	5,598	7,173	8,610
5	0,727	0,920	1,156	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	4,773	5,893	6,869
6	0,718	0,906	1,134	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	4,317	5,208	5,959
7	0,711	0,896	1,119	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	4,029	4,785	5,408
8	0,706	0,889	1,108	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	3,833	4,501	5,041
9	0,703	0,883	1,100	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	3,690	4,297	4,781
10	0,700	0,879	1,093	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	3,581	4,144	4,587
11	0,697	0,876	1,088	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	3,497	4,025	4,437
12	0,695	0,873	1,083	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	3,428	3,930	4,318
13	0,694	0,870	1,079	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	3,372	3,852	4,221
14	0,692	0,868	1,076	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	3,326	3,787	4,140
15	0,691	0,866	1,074	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	3,286	3,733	4,073
16	0,690	0,865	1,071	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921	3,252	3,686	4,015
17	0,689	0,863	1,069	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,222	3,646	3,965
18	0,688	0,862	1,067	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,197	3,610	3,922
19	0,688	0,861	1,066	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,174	3,579	3,883
20	0,687	0,860	1,064	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,153	3,552	3,850
21	0,686	0,859	1,063	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,135	3,527	3,819
22	0,686	0,858	1,061	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,119	3,505	3,792
23	0,685	0,858	1,060	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,104	3,485	3,767
24	0,685	0,857	1,059	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,091	3,467	3,745
25	0,684	0,856	1,058	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,078	3,450	3,725
26	0,684	0,856	1,058	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,067	3,435	3,707
27	0,684	0,855	1,057	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,057	3,421	3,690
28	0,683	0,855	1,056	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,047	3,408	3,674
29	0,683	0,854	1,055	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,038	3,396	3,659
30	0,683	0,854	1,055	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,030	3,385	3,646
40	0,681	0,851	1,050	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704	2,971	3,307	3,551
50	0,679	0,849	1,047	1,299	1,676	2,009	2,403	2,678	2,937	3,261	3,496
60	0,679	0,848	1,045	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	2,915	3,232	3,460
80	0,678	0,846	1,043	1,292	1,664	1,990	2,374	2,639	2,887	3,195	3,416
100	0,677	0,845	1,042	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626	2,871	3,174	3,390
120	0,677	0,845	1,041	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617	2,860	3,160	3,373
∞	0,674	0,842	1,036	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	2,807	3,090	3,291

Auch die kritischen Werte für zweiseitige Überschreitungswahrscheinlichkeiten können der Tabelle entnommen werden. Jede Spalte entspricht dann einer doppelt so großen Überschreitungswahrscheinlichkeit.