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Zwei verwandte Kreisbündel, Art 3 (Blau), Art 1 (rot)

EIN Kreisbündel ist eine Sammlung Kreise wobei die symbolische Gleichung eines solchen Kreises für a fairer Wert von ${ Anzeigestil Lambda }$ kann geschrieben werden als:

${displaystyle (1-lambda )cdot C_{1} lambda cdot C_{2}=0}$

In diesem sind ${Displaystil C_{1}=0}$ und ${Displaystil C_{2}=0}$ symbolische Gleichungen^[1] von zwei verschiedenen, nicht konzentrisch gegebene Kreise ${displaystyle {mathcal {K}}_{1}}$ und ${displaystyle {mathcal {K}}_{2}}$, das Grundkreise des Bündels. Das Bündel wird hervorgebracht durch die kreise ${displaystyle {mathcal {K}}_{1}}$ und ${displaystyle {mathcal {K}}_{2}}$; die Kreise ${displaystyle {mathcal {K}}_{1}}$ und ${displaystyle {mathcal {K}}_{2}}$ sind die laichende Kreise des Bündels.

Die Mittelpunkte der Kreise eines Kreisbündels sind kollinear. Die Linie durch die Zentren heißt zentral (ebenfalls Asche) des Bündels.^[2]

Es gibt drei Arten von Rundbündeln, nämlich Bündel bestehend aus:

1. Kreise mit zwei gemeinsamen Schnittpunkten;
2. berührende Kreise;
3. sich nicht schneidende (disjunkte) Kreise.

Die Kreise eines Kreisbündels haben ein gemeinsames Stromleitung, was verstanden werden kann als degeneriert Kreis des Kreisbündels.
Kreisbündel vom Typ 3 enthalten auch zwei entartete Kreise vom Radius 0, die die Grenzpunkte des Bündels.^[3] Der Tangentenpunkt eines Balkens vom Typ 2 kann als entarteter Kreis mit Radius 0 aufgefasst werden und ist somit auch Bestandteil des Balkens.

Stromleitung

Vor dem ${Anzeigestil Lambda eq 0}$ die symbolische Gleichung des Bündels ändert sich in:

${displaystyle (1-{frac {1}{lambda }})C_{1}-C_{2}=0}$

Vor dem ${Anzeigestil Lambda oder Infty}$ gibt das:

${displaystyle {C}_{1}-{C}_{2}=0}$

Denn in dieser Gleichung sind die Terme mit ${Displaystil x^{2}}$ und ${displaystyle y^{2}}$ fehlen, ist dies im Allgemeinen eine lineare Gleichung in ${Anzeigestil x}$ und/oder ${Anzeigestil y}$ und somit ist die Gleichung eine Gerade.

Der Ausdruck ${displaystyle {C}_{1}-{C}_{2}=0}$ ist die symbolische Gleichung der gemeinsamen Stromlinie des Bündels: Die Stromlinie jedes Kreispaares im Bündel fällt mit der Stromlinie des Bündels zusammen.

Beispiel

Stromleitung, Zentral

Gegeben sind die Kreise ${displaystyle {mathcal {K}}_{1},{mathcal {K}}_{2}}$ mit Gleichungen in einem kartesischen Koordinatensystem:

${displaystyle { egin{aligned}&{{mathcal {K}}_{1}}:{{x}^{2}} {{y}^{2}}={{r}^{2}}qquad ;{ ext{hier}} { ext{is}} {{C}_{1}}äquivalent {{x}^{2}} {{y}^{2}}-{{r}^{2} }/&{{mathcal {K}}_{2}}:{{(xa)}^{2}} {{y}^{2}}={{R}^{2}}qquad ;{ ext {hier}} { ext{is}} {{C}_{2}}äquivalent {{(xa)}^{2}} {{y}^{2}}-{{R}^{2}} /end{ausgerichtet}}}$

Die Gleichung der Stromlinie des Strahls erzeugt durch ${displaystyle {mathcal {K}}_{1},{mathcal {K}}_{2}}$, ist:

${displaystyle ({{x}^{2}} {{y}^{2}}-{{r}^{2}})-left({{(xa)}^{2}} {{y} ^{2}}-{{R}^{2}}Nacht)=0}$

oder:

${displaystyle x={frac {{{r}^{2}}-{{R}^{2}} {{a}^{2}}}{2a}}}$

Die Kreisgleichung aus diesem Bündel ist dann sicher for ${ Anzeigestil Lambda }$:

${displaystyle (1-lambda )({{x}^{2}} {{y}^{2}}-{{r}^{2}}) Lambda links({{(xa)}^{2} } {{y}^{2}}-{{R}^{2}}Nacht)=0}$

oder:

${displaystyle {{(x-lambda a)}^{2}} {{y}^{2}}={{{a}^{2}}{lambda }^{2}} ({{R}^ {2}}-{{r}^{2}}-{{a}^{2}})Lambda {{r}^{2}}}$

Der Mittelpunkt dieses Kreises hat dann die Koordinaten ${displaystyle(lambda a,0)}$, zeigt, dass die X-wie das Zentrum dieses Bündels ist.

Limit-Punkte

Für das Quadrat des Radius ${displaystyle s}$ eines Kreises aus dem Bündel gilt:

${displaystyle {{s}^{2}}={{a}^{2}}{{lambda }^{2}} ({{R}^{2}}-{{r}^{2}} -{{a}^{2}})Lambda {{r}^{2}}}$

wenn ${Anzeigestil s=0}$ ist – der Kreis ist dann zu einem Punktkreis entartet – gilt:

${displaystyle lambda ={frac {{{a}^{2}} {{r}^{2}}-{{R}^{2}}pm {sqrt {{{({{R}^{2}) }-{{a}^{2}}-{{r}^{2}})}^{2}}-4{{a}^{2}}{{r}^{2}}}} }{2{{a}^{2}}}}}$

Und daraus folgt für die Koordinaten der (realen) Grenzpunkte ${Displaystil P_{1,2}}$ dieses Bündels:

${displaystyle {{P}_{1,2}}=(lambda a,0)=left({frac {{{a}^{2}} {{r}^{2}}-{{R}^ {2}}pm {sqrt {{{({{R}^{2}}-{{a}^{2}}-{{r}^{2}})}^{2}}-4{ {a}^{2}}{{r}^{2}}}}}{2a}},0ight)}$

Zugehörige Kreispakete

Zwei verwandte Kreisbündel (Art 2)

Die Kreise, die die Kreise eines Bündels senkrecht schneiden, bilden ebenfalls ein Kreisbündel. Dieses zweite Kreisbündel und das gegebene Kreisbündel heißen die Verwandten des anderen. Der Verwandte eines Kreisbündels der Art 1 ist ein Kreisbündel der Art 3 (und umgekehrt); die gemeinsamen Schnittpunkte des einen Balkens sind dann die Grenzpunkte des anderen (siehe Abbildung oben).
Der Verwandte eines Kreisbündels der Art 2 ist ein Kreisbündel der Art 2 (siehe nebenstehende Abbildung).

Die gemeinsame Stromlinie eines Kreisbündels ist die Linie durch die Mittelpunkte seines verwandten Kreisbündels.

Aufbau einer Bundle-Instanz

Typ 1 und 2

Sind von einem Bündel von einem dieser Typen ein Kreis ${displaystyle {mathcal {K}}_{1}}$ (mit Mitte ${Anzeigestil M}$) und die Stromleitung ${displaystyle m}$ gegeben, dann die Konstruktion einer zweiten Bundle-Instanz ${displaystyle {mathcal {K}}_{2}}$trivial. Schließlich bestimmt die Stromleitung die beiden Gemeinsamkeiten ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ oder der gemeinsame Ansprechpartner ${Anzeigestil A}$ aller Kreise in einem solchen Bündel.

Instanzkonstruktionen bündeln (Arten 1 und 2)

Bauschritte^[4]

1. Senkrecht(M, m) = c // dies ist der zentrale

2. PuntOp(c) = N // zufällig

3. Kreis(N, A) = K2

Der Kreis ${displaystyle {mathcal {K}}_{2}}$ ist dann eine Instanz des durch bestimmten Bündels ${displaystyle {mathcal {K}}_{1}}$ und ${displaystyle m}$.

Typ 3

In diesem Fall ist die Konstruktion etwas komplizierter. Bei dieser Konstruktion wird die Eigenschaft der Stromleitung genutzt: Alle Punkte der Stromleitung haben gleiche Tangentensegmente an die Bündelkopien. Ein besonderer Punkt ist hier die Kreuzung ${Anzeigestil P}$ der Stromleitung und der Zentrale.

Aufbau einer Bundle-Instanz (Art 3)

Bauschritte

1. Senkrecht(M, m) = c		7. PuntOp(Pc) = R2 // zufällig
2. Schnittpunkt(m, c) = P		8. Liniensegment (P, R2) = p
3. Mitte(P, M) = Q		9. Senkrecht (R2, p) = n
4. Kreis(Q, P) = H		10. Schnittpunkt(n, c) = N
5. Kreuzung(en)(H, K1) = R1		11. Kreis(N, R2) = K2
6. Kreis (P, R1) = Pc

Hinweis: Die Liniensegmente ${displaystyle PR_{1}}$ und ${displaystyle PR_{2}}$ sein gleich Tangentensegmente, aufeinanderfolgend zu den Kreisen ${displaystyle {mathcal {K}}_{1}}$ und ${displaystyle {mathcal {K}}_{2}}$.

Der Kreis ${displaystyle {mathcal {K}}_{2}}$ ist dann eine Instanz des durch determined bestimmten Kreisbündels ${displaystyle {mathcal {K}}_{1}}$ und ${displaystyle m}$. Die Kreuzungen ${Displaystil P_{1,2}}$ des Kreises ${displaystyle {mathcal {P_{c}}}}$ mit der zentralen ${Anzeigestil MN}$ sind die Grenzpunkte des Balkens. Der Kreis ${displaystyle {mathcal {P_{c}}}}$ ist die sogenannte poncelet-Kreis dieses Bündels.

Bündel konzentrischer Kreise

Als die X-Achse des kartesischen Achsensatzes wird als Mittelpunkt eines Kreisbündels gewählt, die Gleichung jeder Bündelinstanz kann . sein ${displaystyle {mathcal {K}}_{i};(i=1,2,Punkte)}$ mit reellen Zahlen ${displaystyle a_{i},,d_{i}}$ geschrieben werden als:

${displaystyle C_{i}äquivalent x^{2} y^{2} a_{i}x d_{i}=0}$

Die Koordinaten des Mittelpunkts eines solchen Kreises sind dann ${displaystyle (-{ frac {1}{2}}a_{i},0)}$.Die Stromleitung dieses Bündels ist für ${displaystyle i=1,2}$:

${displaystyle C_{1}-C_{2}äquiv (a_{1}-a_{2})x (d_{1}-d_{2})=0}$

Wenn die Kreise konzentrisch sind, dann ist ${displaystyle a_{1}=a_{2}}$. Die Gleichung der Stromleitung erhält daher mit ${displaystyle k=d_{1}-d_{2}}$ die Form:

${displaystyle (^{*})quad 0cdot x k=0}$

Die Bedeutung dieser Beziehung kann wie folgt untersucht werden.^[5]

An der Senkrechten zum X-Asche stehende beliebige Gerade mit Gleichung:

${displaystyle AxD=0}$

hat das Segment zwischen dem Ursprung und dem Schnittpunkt dieser Geraden mit dem X-Asche die Länge ${displaystyle s=mid -{ frac {D}{A}}mid }$. Der Wert von ${displaystyle s}$ wird größer als ${Anzeigestil A}$ wird kleiner. Es gilt:

${displaystyle lim _{A o 0}s=infty }$

Das obige mit ${displaystyle(^{*})}$ Die angegebene Relation kann dann als "Gleichung" einer Geraden verstanden werden, die eine unendlich große Strecke der (positiven oder negativen) X-Asche schneidet ab. Da diese Linie auch parallel zumja-Asche, diese Zeile hat zwei verschiedene falsche Punkte und ist daher die unendlich weit entfernte gerade Linie aus dem Flugzeug.

Wenn sich die Mittelpunkte zweier Kreise, von denen einer vollständig ineinander liegt, nähern, wird sich ihre Kraftlinie in der Regel immer weiter entfernen und bei konzentrischen Kreisen in die unendlich entfernte Gerade der Ebene übergehen.