WikiDer > Функция Clausen - Википедия

В математика, то Функция Clausen, представлен Томас Клаузен (1832), является трансцендентной специальной функцией одной переменной. Его можно по-разному выразить в виде определенный интеграл, а тригонометрический ряд, и различные другие специальные функции. Это тесно связано с полилогарифм, обратный касательный интеграл, полигамма функция, Дзета-функция Римана, Эта функция Дирихле, и Бета-функция Дирихле.

В Функция Clausen порядка 2 - часто называют то Функция Clausen, несмотря на то, что она одна из многих, задается интегралом:

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( varphi) = - int _ {0} ^ { varphi} log left | 2 sin { frac {x} {2}} right | , dx:}$

В диапазоне ${ Displaystyle 0 < varphi <2 pi ,}$ то функция синуса внутри абсолютная величина Знак остается строго положительным, поэтому знаки абсолютного значения могут быть опущены. Функция Clausen также имеет Ряд Фурье представление:

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( varphi) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k varphi} {k ^ {2}}} = sin varphi + { frac { sin 2 varphi} {2 ^ {2}}} + { frac { sin 3 varphi} {3 ^ {2}}} + { frac { sin 4 varphi} {4 ^ {2}}} + cdots}$

Функции Клаузена как класс функций широко используются во многих областях современных математических исследований, особенно в отношении оценки многих классов логарифмический и полилогарифмические интегралы, как определенные, так и неопределенные. У них также есть множество приложений в отношении суммирования гипергеометрический ряд, суммирования, содержащие инверсию центральный биномиальный коэффициент, суммы полигамма функция, и Дирихле L-серия.

Основные свойства

В Функция Clausen (порядка 2) имеет простые нули при всех (целых) кратных ${ Displaystyle пи, ,}$ так как если ${ Displaystyle к в mathbb {Z} ,}$ целое число, тогда ${ Displaystyle грех к пи = 0}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (m pi) = 0, quad m = 0, , pm 1, , pm 2, , pm 3, , cdots}$

Имеет максимумы при ${ displaystyle theta = { frac { pi} {3}} + 2m pi quad [m in mathbb {Z}]}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {3}} + 2m pi right) = 1.01494160 ldots}$

и минимумы при ${ displaystyle theta = - { frac { pi} {3}} + 2m pi quad [m in mathbb {Z}]}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left (- { frac { pi} {3}} + 2m pi right) = - 1.01494160 ldots}$

Следующие свойства являются непосредственными следствиями определения ряда:

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( theta + 2m pi) = operatorname {Cl} _ {2} ( theta)}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (- theta) = - operatorname {Cl} _ {2} ( theta)}$

(Ссылка: См. Lu and Perez, 1992, ниже для этих результатов, хотя никаких доказательств не приводится).

Общее определение

В более общем смысле, можно определить две обобщенные функции Clausen:

${ displaystyle operatorname {S} _ {z} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {z}}}}$

${ displaystyle operatorname {C} _ {z} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {z}}}}$

которые действительны для сложных z с Re z > 1. Определение может быть распространено на всю комплексную плоскость через аналитическое продолжение.

Когда z заменяется на неотрицательное целое число, Стандартные функции Clausen определяются следующими Ряд Фурье:

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 2} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 2} }}}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 1} }}}$

${ displaystyle operatorname {Sl} _ {2m + 2} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 2} }}}$

${ displaystyle operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 1} }}}$

N.B. В Функции Clausen типа SL иметь альтернативное обозначение ${ displaystyle operatorname {Gl} _ {m} ( theta) ,}$ и иногда их называют Функции Глейшера – Клаузена (после Джеймс Уитбред Ли Глейшер, отсюда и GL-обозначение).

Связь с полиномами Бернулли

В Функция Clausen типа SL являются многочленами от ${ Displaystyle , theta ,}$, и тесно связаны с Полиномы Бернулли. Эта связь очевидна из Ряд Фурье представления полиномов Бернулли:

${ Displaystyle B_ {2n-1} (x) = { frac {2 (-1) ^ {n} (2n-1)!} {(2 pi) ^ {2n-1}}} , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin 2 pi kx} {k ^ {2n-1}}}.}.$

${ Displaystyle B_ {2n} (x) = { frac {2 (-1) ^ {n-1} (2n)!} {(2 pi) ^ {2n}}} , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos 2 pi kx} {k ^ {2n}}}.}.$

Параметр ${ Displaystyle , х = тета / 2 пи ,}$ в приведенном выше примере, а затем перестановка членов дает следующие выражения в замкнутой форме (полиномиальные):

${ displaystyle operatorname {Sl} _ {2m} ( theta) = { frac {(-1) ^ {m-1} (2 pi) ^ {2m}} {2 (2m)!}} B_ {2m} left ({ frac { theta} {2 pi}} right),}$

${ displaystyle operatorname {Sl} _ {2m-1} ( theta) = { frac {(-1) ^ {m} (2 pi) ^ {2m-1}} {2 (2m-1) !}} B_ {2m-1} left ({ frac { theta} {2 pi}} right),}$

где Полиномы Бернулли ${ Displaystyle , В_ {п} (х) ,}$ определены в терминах Числа Бернулли ${ Displaystyle , В_ {п} эквив В_ {п} (0) ,}$ соотношением:

${ displaystyle B_ {n} (x) = sum _ {j = 0} ^ {n} { binom {n} {j}} B_ {j} x ^ {n-j}.}$

Явные оценки, полученные на основе вышеизложенного, включают:

${ displaystyle operatorname {Sl} _ {1} ( theta) = { frac { pi} {2}} - { frac { theta} {2}},}$

${ displaystyle operatorname {Sl} _ {2} ( theta) = { frac { pi ^ {2}} {6}} - { frac { pi theta} {2}} + { frac { theta ^ {2}} {4}},}$

${ displaystyle operatorname {Sl} _ {3} ( theta) = { frac { pi ^ {2} theta} {6}} - { frac { pi theta ^ {2}} {4 }} + { frac { theta ^ {3}} {12}},}$

${ displaystyle operatorname {Sl} _ {4} ( theta) = { frac { pi ^ {4}} {90}} - { frac { pi ^ {2} theta ^ {2}} {12}} + { frac { pi theta ^ {3}} {12}} - { frac { theta ^ {4}} {48}}.}$

Формула дублирования

За ${ Displaystyle 0 < тета < пи}$, формула дублирования может быть доказана непосредственно из определения интеграла (результат см. также в Lu and Perez, 1992, ниже, хотя никаких доказательств не приводится):

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = 2 operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) }$

Обозначение Каталонская постоянная к ${ displaystyle K = operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {2}} right)}$, непосредственными следствиями формулы дублирования являются отношения:

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {4}} right) - operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {3 pi} {4}} right) = { frac {K} {2}}}$

${ displaystyle 2 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {3}} right) = 3 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {2 pi} {3}} right)}$

Для функций Clausen более высокого порядка формулы дублирования могут быть получены из приведенной выше; просто замените ${ Displaystyle , theta ,}$ с фиктивная переменная ${ displaystyle x}$, и проинтегрируем по интервалу ${ Displaystyle , [0, theta]. ,}$ Повторное применение одного и того же процесса дает:

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {3} (2 theta) = 4 operatorname {Cl} _ {3} ( theta) +4 operatorname {Cl} _ {3} ( pi - theta) }$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {4} (2 theta) = 8 operatorname {Cl} _ {4} ( theta) -8 operatorname {Cl} _ {4} ( pi - theta) }$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {5} (2 theta) = 16 operatorname {Cl} _ {5} ( theta) +16 operatorname {Cl} _ {5} ( pi - theta) }$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {6} (2 theta) = 32 operatorname {Cl} _ {6} ( theta) -32 operatorname {Cl} _ {6} ( pi - theta) }$

И вообще, после индукции по ${ Displaystyle , м, , , м geq 1}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {m + 1} (2 theta) = 2 ^ {m} { Bigg [} operatorname {Cl} _ {m + 1} ( theta) + (- 1) ^ {m} operatorname {Cl} _ {m + 1} ( pi - theta) { Bigg]}}$

Использование обобщенной формулы дублирования позволяет расширить результат для функции Clausen порядка 2, включая Каталонская постоянная. За ${ Displaystyle , м в mathbb {Z} geq 1 ,}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac { pi} {2}} right) = 2 ^ {2m-1} left [ operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac { pi} {4}} right) - operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {3 pi} {4}} right) right] = beta (2м)}$

Где ${ Displaystyle , бета (х) ,}$ это Бета-функция Дирихле.

Доказательство формулы дублирования

Из интегрального определения

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = - int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2} } { Bigg |} , dx}$

Примените формулу дублирования для функция синуса, ${ displaystyle sin x = 2 sin { frac {x} {2}} cos { frac {x} {2}}}$ чтобы получить

${ displaystyle { begin {align} & - int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} left (2 sin { frac {x} {4}} right) left (2 cos { frac {x} {4}} right) { Bigg |} , dx = {} & - int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {4}} { Bigg |} , dx- int _ {0} ^ {2 theta} log { Bigg |} 2 cos { frac { х} {4}} { Bigg |} , dx конец {выровнено}}}$

Применить замену ${ Displaystyle х = 2y, dx = 2 , dy}$ по обоим интегралам:

${ displaystyle { begin {align} & - 2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx-2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 cos { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx = {} & 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 cos { frac {x} {2}} { Bigg | } , dx end {выровнено}}}$

На этом последнем интеграле положим ${ displaystyle y = pi -x, , x = pi -y, , dx = -dy}$, и используйте тригонометрическое тождество ${ Displaystyle соз (х-у) = соз х соз у- грех х грех у}$ чтобы показать, что:

${ displaystyle { begin {align} & cos left ({ frac { pi -y} {2}} right) = sin { frac {y} {2}} Longrightarrow qquad & operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 int _ {0} ^ { theta} log { Bigg |} 2 cos { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx = {} & 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) +2 int _ { pi} ^ { pi - theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {y} {2}} { Bigg |} , dy = {} & 2 , operatorname { Cl} _ {2} ( theta) -2 , operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) +2 , operatorname {Cl} _ {2} ( pi) end { выровнено}}}$

${ Displaystyle OperatorName {Cl} _ {2} ( pi) = 0 ,}$

Следовательно,

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) = 2 , operatorname {Cl} _ {2} ( theta) -2 , operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) ,. , Box}$

Производные функций Клаузена общего порядка

Прямая дифференциация Ряд Фурье расширения для функций Clausen дают:

${ displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Cl} _ {2m + 2} ( theta) = { frac {d} {d theta}} sum _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 2}}} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 1}}} = operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta)}$

${ displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta) = { frac {d} {d theta}} sum _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 1}}} = - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta } {k ^ {2m}}} = - operatorname {Cl} _ {2m} ( theta)}$

${ displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Sl} _ {2m + 2} ( theta) = { frac {d} {d theta}} sum _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m + 2}}} = - sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta } {k ^ {2m + 1}}} = - operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta)}$

${ displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta) = { frac {d} {d theta}} sum _ {k = 1 } ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 1}}} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {2m}}} = operatorname {Sl} _ {2m} ( theta)}$

Обращаясь к Первая основная теорема исчисления, у нас также есть:

${ displaystyle { frac {d} {d theta}} operatorname {Cl} _ {2} ( theta) = { frac {d} {d theta}} left [- int _ {0 } ^ { theta} log { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx , right] = - log { Bigg |} 2 грех { frac { theta} {2}} { Bigg |} = operatorname {Cl} _ {1} ( theta)}$

Связь с обратным касательным интегралом

В обратный касательный интеграл определяется на интервале ${ displaystyle 0$ к

${ displaystyle operatorname {Ti} _ {2} (z) = int _ {0} ^ {z} { frac { tan ^ {- 1} x} {x}} , dx = sum _ {k = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {z ^ {2k + 1}} {(2k + 1) ^ {2}}}}$

С точки зрения функции Clausen он имеет следующую закрытую форму:

${ displaystyle operatorname {Ti} _ {2} ( tan theta) = theta log ( tan theta) + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( 2 theta) + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta)}$

Доказательство интегрального отношения обратной касательной

Из интегрального определения обратный касательный интеграл, у нас есть

${ displaystyle operatorname {Ti} _ {2} ( tan theta) = int _ {0} ^ { tan theta} { frac { tan ^ {- 1} x} {x}} , dx}$

Выполнение интеграции по частям

${ displaystyle int _ {0} ^ { tan theta} { frac { tan ^ {- 1} x} {x}} , dx = tan ^ {- 1} x log x , { Bigg |} _ {0} ^ { tan theta} - int _ {0} ^ { tan theta} { frac { log x} {1 + x ^ {2}}} , dx =}$

${ displaystyle theta log tan theta - int _ {0} ^ { tan theta} { frac { log x} {1 + x ^ {2}}} , dx}$

Применить замену ${ displaystyle x = tan y, , y = tan ^ {- 1} x, , dy = { frac {dx} {1 + x ^ {2}}} ,}$ чтобы получить

${ Displaystyle theta log tan theta - int _ {0} ^ { theta} log ( tan y) , dy}$

Для этого последнего интеграла примените преобразование:${ Displaystyle у = х / 2, , dy = dx / 2 ,}$ получить

${ displaystyle { begin {align} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left ( tan { frac {x} {2}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ { 2 theta} log left ({ frac { sin (x / 2)} { cos (x / 2)}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left ({ frac {2 sin (x / 2)} {2 cos ( x / 2)}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta - { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 sin { frac {x} {2}} right) , dx + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x} {2}} right) , dx [6pt] = {} & theta log tan theta + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) + { frac {1} {2}} int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x } {2}} right) , dx. End {align}}}$

Наконец, как и в случае доказательства формулы дублирования, подстановка ${ Displaystyle х = ( пи -у) ,}$ сводит этот последний интеграл к

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 theta} log left (2 cos { frac {x} {2}} right) , dx = operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta) - operatorname {Cl} _ {2} ( pi) = operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta)}$

Таким образом

${ displaystyle operatorname {Ti} _ {2} ( tan theta) = theta log tan theta + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) + { frac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta) ,. , Box}$

Связь с G-функцией Барнса

Серьезно ${ displaystyle 0$, функция Клаузена второго порядка может быть выражена через G-функция Барнса и (Эйлер) Гамма-функция:

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (1 + z)}} right) +2 pi z log left ({ frac { pi} { sin pi z}} right)}$

Или эквивалентно

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (z)}} right) -2 pi log Gamma (z) +2 pi z log left ({ frac { pi} { sin pi z}} right)}$

Ссылка: см. Адамчик, "Вклад в теорию функции Барнса", ниже.

Отношение к полилогарифму

Функции Clausen представляют действительную и мнимую части полилогарифма на единичный круг:

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} ( theta) = Im ( operatorname {Li} _ {2m} (e ^ {i theta})), quad m in mathbb {Z} geq 1}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta) = Re ( operatorname {Li} _ {2m + 1} (e ^ {i theta})), quad m in mathbb {Z} geq 0}$

В этом легко убедиться, обратившись к определению серии полилогарифм.

${ displaystyle operatorname {Li} _ {n} (z) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {k}} {k ^ {n}}} quad Longrightarrow operatorname {Li} _ {n} left (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { left (e ^ {i theta } right) ^ {k}} {k ^ {n}}} = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {e ^ {ik theta}} {k ^ {n}} }}$

По теореме Эйлера

${ Displaystyle е ^ {я тета} = соз тета + я грех тета}$

и по теореме де Муавра (Формула де Муавра)

${ displaystyle ( cos theta + i sin theta) ^ {k} = cos k theta + i sin k theta quad Rightarrow operatorname {Li} _ {n} left (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} {k ^ {n}}} + i , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {n}}}}$

Следовательно

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2m} left (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta} { k ^ {2m}}} + i , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m}}} = operatorname {Sl} _ { 2m} ( theta) + i operatorname {Cl} _ {2m} ( theta)}$

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2m + 1} left (e ^ {i theta} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { cos k theta } {k ^ {2m + 1}}} + i , sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin k theta} {k ^ {2m + 1}}} = имя оператора {Cl} _ {2m + 1} ( theta) + i имя оператора {Sl} _ {2m + 1} ( theta)}$

Связь с функцией полигаммы

Функции Clausen тесно связаны с полигамма функция. В самом деле, можно выразить функции Клаузена как линейные комбинации синусоидальных и полигамма-функций. Одно из таких соотношений показано здесь и доказано ниже:

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = { frac {1} {(2p) ^ {2m} (2m-1) !}} , sum _ {j = 1} ^ {p} sin left ({ tfrac {qj pi} {p}} right) , left [ psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j} {2p}} right) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j + p} {2p}} right )верно]}$

Позволять ${ Displaystyle , п ,}$ и ${ Displaystyle , д ,}$ быть натуральными числами, такими что ${ Displaystyle , д / п ,}$ это рациональное число ${ Displaystyle , 0 <д / р <1 ,}$, то по определению ряда для функции Clausen более высокого порядка (четного индекса):

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac { sin (kq pi / p)} {k ^ {2m}}}}$

Мы разбиваем эту сумму ровно на п-частей, так что первая серия содержит все и только те термины, которые соответствуют ${ Displaystyle , кп + 1, ,}$ вторая серия содержит все члены, соответствующие ${ Displaystyle , кп + 2, ,}$ и т. д., до финала п-я часть, содержащая все термины, соответствующие ${ Displaystyle , кп + р ,}$

${ displaystyle { begin {align} & operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = {} & sum _ {k = 0 } ^ { infty} { frac { sin left [(kp ​​+ 1) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + 1) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp ​​+ 2) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + 2) ^ { 2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp ​​+ 3) { frac {q pi} {p}} right]} {( kp + 3) ^ {2m}}} + cdots & cdots + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp ​​+ p-2) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + p-2) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp + p-1) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + p-1) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp ​​+ p) { frac {q pi} {p}} right]} {(kp + p) ^ {2m}}} end {выровнено}} }$

Мы можем проиндексировать эти суммы, чтобы получить двойную сумму:

${ displaystyle { begin {align} & operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = sum _ {j = 1} ^ {p} { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp ​​+ j) { frac {q pi} {p}} right]} { (kp + j) ^ {2m}}} { Bigg }} = {} & sum _ {j = 1} ^ {p} { frac {1} {p ^ {2m}}} { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { sin left [(kp ​​+ j) { frac {q pi} {p}} right]} {( k + (j / p)) ^ {2m}}} { Bigg }} конец {выровнено}}}$

Применяя формулу сложения для функция синуса, ${ Displaystyle , грех (х + у) = грех х соз у + соз х грех у, ,}$ синусоидальный член в числителе становится:

${ displaystyle sin left [(kp ​​+ j) { frac {q pi} {p}} right] = sin left (kq pi + { frac {qj pi} {p}} right) = sin kq pi cos { frac {qj pi} {p}} + cos kq pi sin { frac {qj pi} {p}}}$

${ Displaystyle грех м пи эквив 0, квад , соз м пи экв (-1) ^ {м} четырехъядерный Longleftrightarrow м = 0, , pm 1, , pm 2 , , pm 3, , ldots}$

${ displaystyle sin left [(kp ​​+ j) { frac {q pi} {p}} right] = (- 1) ^ {kq} sin { frac {qj pi} {p} }}$

Как следствие,

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = sum _ {j = 1} ^ {p} { frac {1} { p ^ {2m}}} sin left ({ frac {qj pi} {p}} right) , { Bigg {} sum _ {k = 0} ^ { infty} { гидроразрыв {(-1) ^ {kq}} {(k + (j / p)) ^ {2m}}} { Bigg }}}$

Чтобы преобразовать внутренняя сумма в двойной сумме в непеременную сумму, разделенную на две части точно так же, как предыдущая сумма была разделена на п-части:

${ Displaystyle { begin {align} & sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {kq}} {(k + (j / p)) ^ {2m}} } = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {(2k) q}} {((2k) + (j / p)) ^ {2m}}} + sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {(2k + 1) q}} {((2k + 1) + (j / p)) ^ {2m}} } = {} & sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + (j / p)) ^ {2m}}} + (- 1) ^ {q} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2k + 1 + (j / p)) ^ {2m}}} = {} & { frac {1 } {2 ^ {p}}} left [ sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + (j / 2p)) ^ {2m}}} + (- 1 ) ^ {q} , sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + left ({ frac {j + p} {2p}} right)) ^ { 2м}}} right] end {выровнено}}}$

За ${ Displaystyle , м в mathbb {Z} geq 1 ,}$, то полигамма функция имеет представление серии

${ displaystyle psi _ {m} (z) = (- 1) ^ {m + 1} m! sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(k + z) ^ {м + 1}}}}$

Итак, с точки зрения полигамма-функции предыдущий внутренняя сумма становится:

${ displaystyle { frac {1} {2 ^ {2m} (2m-1)!}} left [ psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j} {2p}} right) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j + p} {2p}} right) right]}$

Вставив это обратно в двойная сумма дает желаемый результат:

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} left ({ frac {q pi} {p}} right) = { frac {1} {(2p) ^ {2m} (2m-1) !}} , sum _ {j = 1} ^ {p} sin left ({ tfrac {qj pi} {p}} right) , left [ psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j} {2p}} right) + (- 1) ^ {q} psi _ {2m-1} left ({ tfrac {j + p} {2p}} right )верно]}$

Связь с обобщенным логином интегралом

В обобщенный журнал интеграл определяется:

${ displaystyle { mathcal {L}} s_ {n} ^ {m} ( theta) = - int _ {0} ^ { theta} x ^ {m} log ^ {nm-1} { Bigg |} 2 sin { frac {x} {2}} { Bigg |} , dx}$

В этой обобщенной записи функция Clausen может быть выражена в форме:

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} ( theta) = { mathcal {L}} s_ {2} ^ {0} ( theta)}$

Отношение Куммера

Эрнст Куммер и Роджерс дают соотношение

${ displaystyle operatorname {Li} _ {2} (e ^ {i theta}) = zeta (2) - theta (2 pi - theta) / 4 + i operatorname {Cl} _ {2 } ( theta)}$

Годен до ${ displaystyle 0 leq theta leq 2 pi}$.

Связь с функцией Лобачевского

В Функция Лобачевского Λ или A - по сути, одна и та же функция с заменой переменной:

${ Displaystyle Lambda ( theta) = - int _ {0} ^ { theta} log | 2 sin (t) | , dt = operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) / 2}$

хотя название «функция Лобачевского» не совсем исторически достоверно, так как формулы Лобачевского для гиперболического объема использовали несколько иную функцию

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} log | sec (t) | , dt = Lambda ( theta + pi / 2) + theta log 2.}$

Связь с L-функциями Дирихле

Для рациональных значений ${ displaystyle theta / pi}$ (то есть для ${ Displaystyle тета / пи = р / д}$ для некоторых целых чисел п и q), функция ${ Displaystyle грех (п тета)}$ можно понимать как периодическую орбиту элемента в циклическая группа, и поэтому ${ displaystyle operatorname {Cl} _ {s} ( theta)}$ можно выразить в виде простой суммы, включающей Дзета-функция Гурвица.^{[нужна цитата]} Это позволяет установить отношения между определенными L-функции Дирихле быть легко вычисленным.

Серийное ускорение

А серийное ускорение для функции Clausen задается

${ displaystyle { frac { operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} { theta}} = 1- log | theta | + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n)} {n (2n + 1)}} left ({ frac { theta} {2 pi}} right) ^ {2n}}$

что справедливо для ${ displaystyle | theta | <2 pi}$. Здесь, ${ displaystyle zeta (s)}$ это Дзета-функция Римана. Более быстро сходящаяся форма дается

${ displaystyle { frac { operatorname {Cl} _ {2} ( theta)} { theta}} = 3- log left [| theta | left (1 - { frac { theta ^ {2}} {4 pi ^ {2}}} right) right] - { frac {2 pi} { theta}} log left ({ frac {2 pi + theta} {2 pi - theta}} right) + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { zeta (2n) -1} {n (2n + 1)}} left ( { frac { theta} {2 pi}} right) ^ {2n}.}$

Конвергенции способствует то, что ${ Displaystyle zeta (п) -1}$ быстро приближается к нулю для больших значений п. Обе формы можно получить с помощью методов пересуммирования, используемых для получения рациональная дзета-серия. (см. Borwein, et al., 2000, ниже).

Особые ценности

Напомним G-функция Барнса и Каталонская постоянная K. Некоторые специальные значения включают

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {2}} right) = K}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {3}} right) = 3 pi log left ({ frac {G left ({ frac { 2} {3}} right)} {G left ({ frac {1} {3}} right)}} right) -3 pi log Gamma left ({ frac {1} {3}} right) + pi log left ({ frac {2 pi} { sqrt {3}}} right)}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {2 pi} {3}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac {2} {3}} right)} {G left ({ frac {1} {3}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {1 } {3}} right) + { frac {2 pi} {3}} log left ({ frac {2 pi} { sqrt {3}}} right)}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {4}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac { 7} {8}} right)} {G left ({ frac {1} {8}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {1} {8}} right) + { frac { pi} {4}} log left ({ frac {2 pi} { sqrt {2 - { sqrt {2}}}}} right )}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {3 pi} {4}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac {5} {8}} right)} {G left ({ frac {3} {8}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {3 } {8}} right) + { frac {3 pi} {4}} log left ({ frac {2 pi} { sqrt {2 + { sqrt {2}}}}}} верно)}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {6}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac { 11} {12}} right)} {G left ({ frac {1} {12}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {1} {12}} right) + { frac { pi} {6}} log left ({ frac {2 pi { sqrt {2}}} {{ sqrt {3}} - 1} }верно)}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac {5 pi} {6}} right) = 2 pi log left ({ frac {G left ({ frac {7} {12}} right)} {G left ({ frac {5} {12}} right)}} right) -2 pi log Gamma left ({ frac {5 } {12}} right) + { frac {5 pi} {6}} log left ({ frac {2 pi { sqrt {2}}} {{ sqrt {3}} + 1}} right)}$

В общем, из Формула отражения G-функции Барнса,

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (z)}} right) -2 pi log Gamma (z) +2 pi z log left ({ frac { pi} { sin pi z}} right)}$

Эквивалентно, используя Эйлера формула отражения для гамма-функции, то

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (2 pi z) = 2 pi log left ({ frac {G (1-z)} {G (z)}} right) -2 pi log Gamma (z) +2 pi z log { big (} Gamma (z) Gamma (1-z) { big)}}$

Обобщенные специальные значения

Некоторые специальные значения для функций Clausen более высокого порядка включают

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m} t (0) = operatorname {Cl} _ {2m} ( pi) = operatorname {Cl} _ {2m} (2 pi) = 0}$

${ Displaystyle OperatorName {Cl} _ {2m} left ({ frac { pi} {2}} right) = beta (2m)}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} (0) = operatorname {Cl} _ {2m + 1} (2 pi) = zeta (2m + 1)}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( pi) = - eta (2m + 1) = - left ({ frac {2 ^ {2m} -1} {2 ^ {2m}) }} right) zeta (2m + 1)}$

${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2m + 1} left ({ frac { pi} {2}} right) = - { frac {1} {2 ^ {2m + 1}}} эта (2m + 1) = - left ({ frac {2 ^ {2m} -1} {2 ^ {4m + 1}}} right) zeta (2m + 1)}$

куда ${ Displaystyle бета (х)}$ это Бета-функция Дирихле, ${ Displaystyle eta (х)}$ это Эта функция Дирихле (также называемая чередующейся дзета-функцией), и ${ Displaystyle zeta (х)}$ это Дзета-функция Римана.

Интегралы прямой функции

Следующие интегралы легко доказываются из представлений функции Клаузена в серии:

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Cl} _ {2m} (x) , dx = zeta (2m + 1) - operatorname {Cl} _ {2m + 1} ( theta)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Cl} _ {2m + 1} (x) , dx = operatorname {Cl} _ {2m + 2} ( theta)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Sl} _ {2m} (x) , dx = operatorname {Sl} _ {2m + 1} ( theta)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} operatorname {Sl} _ {2m + 1} (x) , dx = zeta (2m + 2) - operatorname {Cl} _ {2m + 2 } ( theta)}$

С помощью Фурье-аналитических методов можно найти первые моменты квадрата функции ${ displaystyle operatorname {Cl} _ {2} (x)}$ на интервале ${ displaystyle [0, pi]}$:^[1]

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) , dx = zeta (4),}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} t operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) , dx = { frac {221} {90720}} pi ^ {6 } -4 zeta ({ overline {5}}, 1) -2 zeta ({ overline {4}}, 2),}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { pi} t ^ {2} operatorname {Cl} _ {2} ^ {2} (x) , dx = - { frac {2} {3}} pi left [12 zeta ({ overline {5}}, 1) +6 zeta ({ overline {4}}, 2) - { frac {23} {10080}} pi ^ {6 }верно].}$

Здесь ${ displaystyle zeta}$ обозначает Множественная дзета-функция.

Интегральные оценки, включающие прямую функцию

Большое количество тригонометрических и логарифм-тригонометрических интегралов можно вычислить с помощью функции Клаузена и различных общих математических констант, таких как ${ Displaystyle , К ,}$ (Каталонская постоянная), ${ Displaystyle , журнал 2 ,}$, и частные случаи дзета-функция, ${ Displaystyle , zeta (2) ,}$ и ${ Displaystyle , zeta (3) ,}$.

Примеры, перечисленные ниже, следуют непосредственно из интегрального представления функции Клаузена, и для доказательства требуется немного больше, чем базовая тригонометрия, интегрирование по частям и случайное поэтапное интегрирование функции. Ряд Фурье определения функций Clausen.

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} log ( sin x) , dx = - { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) - theta log 2}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} log ( cos x) , dx = { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 тета) - тета log 2}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} log ( tan x) , dx = - { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} (2 theta) - { tfrac {1} {2}} operatorname {Cl} _ {2} ( pi -2 theta)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1+ cos x) , dx = 2 operatorname {Cl} _ {2} ( pi - theta) - theta log 2 }$

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1- cos x) , dx = -2 operatorname {Cl} _ {2} ( theta) - theta log 2}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1+ sin x) , dx = 2K-2 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} { 2}} + theta right) - theta log 2}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { theta} log (1- sin x) , dx = -2K + 2 operatorname {Cl} _ {2} left ({ frac { pi} {2}} - theta right) - theta log 2}$

Рекомендации

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 27.8». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 1005. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. МИСТЕР 0167642. LCCN 65-12253.
• Клаузен, Томас (1832). "Über die Функция sin φ + (1/2²) sin 2φ + (1/3²) sin 3φ + и т. д. ". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 8: 298–300. ISSN 0075-4102.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Вуд, Ван Э. (1968). «Эффективное вычисление интеграла Клаузена». Математика. Comp. 22 (104): 883–884. Дои:10.1090 / S0025-5718-1968-0239733-9. МИСТЕР 0239733.
• Леонард Левин, (Ред.). Структурные свойства полилогарифмов. (1991) Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд. ISBN 0-8218-4532-2
• Лу, Хунг Юнг; Перес, Кристофер А. (1992). «Безмассовый однопетлевой скалярный трехточечный интеграл и связанные с ним функции Клаузена, Глейшера и L-функции» (PDF).
• Кёльбиг, Курт Зигфрид (1995). «Коэффициенты Чебышева для функции Клаузена Cl₂(Икс)". J. Comput. Appl. Математика. 64 (3): 295–297. Дои:10.1016/0377-0427(95)00150-6. МИСТЕР 1365432.
• Борвейн, Джонатан М.; Брэдли, Дэвид М .; Крэндалл, Ричард Э. (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF). J. Comp. Приложение. Математика. 121 (1–2): 247–296. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. Дои:10.1016 / s0377-0427 (00) 00336-8. МИСТЕР 1780051.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Адамчик Виктор. С. (2003). «Вклад в теорию функции Барнса». arXiv:математика / 0308086v1.
• Калмыков Михаил Юрьевич; Шепляков, А. (2005). «LSJK - библиотека C ++ для числового вычисления произвольной точности обобщенного логарифмического синусоидального интеграла». Comput. Phys. Сообщество. 172: 45–59. arXiv:hep-ph / 0411100. Bibcode:2005CoPhC.172 ... 45K. Дои:10.1016 / j.cpc.2005.04.013.
• Borwein, Jonathan M .; Штрауб, Армин (2013). «Отношения для полилогарифмов Нильсена». J. Прибл. Теория. 193. С. 74–88. Дои:10.1016 / j.jat.2013.07.003.
• Матар, Р. Дж. (2013). «Реализация сумм Clausen C99». arXiv:1309.7504 [math.NA].