WikiDer > Kontraktionssatz von Banach

Das Kontraktionssatz von Banach ist ein wichtiges Werkzeug in der Theorie der metrische Räume. Der Satz garantiert die Existenz und die Einzigartigkeit von Fixpunkte bestimmter Abbildungen metrischer Räume auf sich selbst und bietet eine konstruktive Methode zum Auffinden dieser Punkte. Die Theorie ist benannt nach Stefan Banach (1892–1945).

Der Kontraktionssatz von Banach ist der bekannteste und am weitesten verbreitete Fixpunktsatz, teilweise wegen der konstruktiven Art und Weise, wie der eindeutige Fixpunkt gefunden werden kann.

Gestell

Sie ${displaystyle Isubset mathbb {R} }$ ein geschlossenes Intervall und ${displaystyle f:I oder I}$ so dass für alle ${displaystyle x,yin I:|f(x)-f(y)|leq alpha ,|x-y|}$ sicher ${displaystyle alpha }$ mit ${displaystyle 0leq alpha <1}$, dann hat ${displaystyle f}$ genau einer Fixpunkt, das heißt, es gibt genau einen ${displaystyle uin I}$ mit ${Anzeigestil f(u)=u}$.

Hinweis

Wenn durch den Kontraktionssatz von Banach bewiesen wird, dass ein Fixpunkt existiert, kann dieser Punkt als Grenzwert der Folge gefunden werden

${Anzeigestil f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),ldots }$

in welchem ${Anzeigestil x}$ ist ein zufällig gewählter Startwert.

Ein häufiger Fehler ist, das nur für alle zu zeigen ${Anzeigestil x,yin I}$ zählt das

${Anzeigestil |f(x)-f(y)|<|x-y|}$.

Diese Eigenschaft reicht nicht aus, um auf die Existenz eines Fixpunktes zu schließen. Wichtig ist auch, dass der Definitionsbereich a Geschlossen Intervall.

Breitere Formulierung

Die Aussage kann auch breiter formuliert werden:

Sie ${Anzeigestil (M, d)}$ ein vollmetrischer Raum und ${Anzeigestil f:M oder M}$ so dass für alle ${Anzeigestil x,yin M:d(f(x),f(y))leq alpha ,d(x,y)}$ sicher ${displaystyle alpha }$ mit ${displaystyle 0leq alpha <1}$, dann hat ${displaystyle f}$ genau einer Fixpunkt.

Beispiel

Wir beweisen folgendes Gestell:
wenn

${displaystyle g:[a,b]imes mathbb {R} oder mathbb {R} }$, ${displaystyle x_{0}in [a,b]}$ und ${displaystyle cin mathbb {R} }$,

dann hat die Differentialgleichung

${displaystyle { egin{cases}f'(x)=g(x,f(x))/f(x_{0})=cend{cases}}}$

genau eine Lösung auf ${Anzeigestil [a,b]}$wenn ${displaystyle g}$ entspricht dem sogenannten Lipschitz-Zustand

${Anzeigestil |g(x,y)-g(x,z)|leq k|y-z|}$

für alle

${displaystyle xin[a,b]}$, ${displaystyle y,satz mathbb {R} {mbox{ und bestimmte }}k<1}$

Beweise

Wir schreiben die Randbedingung der Differentialgleichung in der folgenden Form:

${displaystyle f(x)=c int _{x_{0}}^{x}g(t,f(t)),mathrm {d} t}$

Betrachten Sie nun das Bild ${Displaystil U}$ die eine stetige Funktion erfüllt ${displaystyle f}$ fügt die Funktion hinzu ${Anzeigestil Uf}$, definiert von

${displaystyle Uf(x)=c int _{x_{0}}^{x}g(t,f(t)),mathrm {d} t}$

Wir suchen also den Fixpunkt von ${Anzeigestil U:C[a,b] oder C[a,b]}$. (${Anzeigestil C[a,b]}$ ist der Banachraum stetiger Funktionen auf ${Anzeigestil [a,b]}$ mit der höchsten Norm)

${displaystyle |(Uf_{1})(x)-(Uf_{2})(x)|leq int _{x_{0}}^{x}|g(t,f_{1}(t))- g(t,f_{2}(t))|,mathrm {d} tleq }$

${displaystyle leq (ba)max _{tin [a,b]}|g(t,f_{1}(t))-g(t,f_{2}(t))|leq (ba)kmax _{ Zinn [a,b]}|f_{1}(t)-f_{2}(t)|}$

So

${displaystyle |Af_{1}-Af_{2}|leq (b-a)k|f_{1}-f_{2}|}$

wenn ${Anzeigestil (b-a)k<1}$, folgt aus dem obigen Kontraktionssatz.

Diese Anforderung kann entfallen, indem die Segment${Anzeigestil [a,b]}$ in kleine Untersegmente zu unterteilen ${Anzeigestil [a_{n},a_{n 1}]}$ für die

${Anzeigestil k(a_{n 1}-a_{n})<1}$

Für jedes dieser Segmente erhalten wir eine Lösung, die wir schließlich zu einer globalen Lösung zusammenfassen können ${Anzeigestil [a,b]}$.