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Eine Funktion mit drei Fixpunkten

In dem Mathematik ist ein Fixpunkt, Fixpunkt oder Fixpunkt von a Funktion${Anzeigestil f:V oder V}$ ein Eingabewert der Funktion, der von dieser Funktion allein verwendet wird abgebildet. Das bedeutet, dass ${Anzeigestil x}$dann und nur dann ein Fixpunkt einer Funktion ${displaystyle f}$ ist wie ${Anzeigestil f(x)=x}$.

Wenn die Funktion beispielsweise eine Drehung in 2D ist, ist der Drehpunkt ein Fixpunkt.

Für einen im reale Nummern definierte Funktion ${Anzeigestil f,}$ beispielsweise

${Anzeigestil f(x)=x^{2}-3x 4}$

ist 2 ein Fixpunkt von ${Anzeigestil f,}$ schon seit ${Anzeigestil f(2)=2.}$

Nicht alle Funktionen haben feste Punkte: Nehmen wir an, dass ${displaystyle f}$ die auf den reellen Zahlen definierte Funktion ${Anzeigestil f(x)=x 1}$ dann kann diese Funktion keine Fixpunkte haben, da ${Anzeigestil x}$ kann für keine reelle Zahl gleich sein ${Anzeigestil x 1.}$ Grafisch kann man sich den Fixpunkt als den Punkt vorstellen ${Anzeigestil (x,f(x))}$ auf der Linie${Anzeigestil y=x,}$ oder mit anderen Worten die Platz, Wert Diagramm von ${displaystyle f}$ die Linie ${Anzeigestil y=x}$ schneidet. Das Beispiel ${Anzeigestil f(x)=x 1}$ ist ein Fall, in dem der Graph der Funktion und die Gerade ${Anzeigestil y=x}$ ein paar parallel sind Linien.

Weist darauf hin, dass nach einer endlichen Zahl Iterationen der Return-to-Baseline-Funktion sind bekannt als periodische Punkte; ein Fixpunkt ist ein periodischer Punkt mit einer Periode gleich eins.

Befestigungspunkte finden

Das Fixpunktiteration

Eine Möglichkeit, feste Punkte zu finden, ist zu raten ${displaystyle x_{0}=g}$ anfangen. Dann passen wir ${Anzeigestil f(x)}$ hier wiederholt. So ${Displaystil x_{1}=f(x_{0}), x_{2}=f(x_{1}),}$ usw.

Mit anderen Worten:

${displaystyle a_{i}={ egin{cases}f(a_{i-1})&{mbox{if }}i>0/g&{mbox{if }}i=0end{cases}}}$

Wenn die Folge konvergent ist, konvergiert sie zu einem Fixpunkt. Es ist leicht zu erkennen, dass diese Zeile nicht alle Funktionen und alle abdeckt ${displaystyle g}$s wird konvergieren. Nimm die Funktion ${Anzeigestil f(x)=-x}$ und die Reihe ${Anzeigestil a}$ werde immer wieder hin und her springen ${displaystyle g}$ und ${displaystyle -g.}$

Die Sequenz konvergiert, wenn die folgenden Voraussetzungen erfüllt sind:

• Die Funktion ist definiert auf a geschlossenes Intervall${Anzeigestil I,}$ und ${Anzeigestil f(x)in I}$ wenn ${Anzeigestil xin I}$
• Es gibt eine positive Zahl ${Anzeigestil r<1}$ damit für alle ${displaystyle u,vin ich}$ zählt das ${Anzeigestil |f(u)-f(v)|$
• ${displaystyle Gin I}$

Die Nützlichkeit von Fixpunkten

Viele mathematische Probleme lassen sich auf Fixpunktprobleme zurückführen. Betrachten wir als Beispiel die allgemeine Differentialgleichung erster Ordnung

${displaystyle {frac {mathrm {d} f(x)}{mathrm {d} x}}=g(x,f(x))}$

mit Anfangsbedingung ${Anzeigestil f(a)=y_{0}.}$ Hier ist ${displaystyle g:[a,b]imes mathbb {R} oder mathbb {R} }$ eine stetige Funktion. Diese Differentialgleichung mit Anfangsbedingungs-Integralgleichung entspricht folgender Integralgleichung:

${displaystyle f(x)=y_{0} int _{a}^{x}g(t,f(t)),mathrm {d} t}$

denn als lösung ${displaystyle f}$ entspricht dem ist

${displaystyle {frac {mathrm {d} f(x)}{mathrm {d} x}}=g(x,f(x))}$ und ${displaystyle f(a)=y_{0}.}$

Sie ${Anzeigestil C=C[a,b]}$ die Menge der stetigen Funktionen auf ${Anzeigestil [a,b]}$ und das bild ${Displaystil U:C oder C}$ definiert von

${displaystyle (Uf)(x)=y_{0} int _{a}^{x}g(t,f(t)),mathrm {d} t}$

wenn ${Displaystil U}$ ein fester Punkt ${Displaystil Flosse C}$ hat, dann ${displaystyle f}$ eine Lösung der Differentialgleichung mit Anfangsbedingung.

Ein funktionierendes Beispiel finden Sie auf der Kontraktionssatz von Banach.

Siehe auch

• Fixpunktsatz von Brouwerwer
• Fixpunktsatz von Caristi
• Kontraktionssatz von Banach

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