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Graph einer konvexen Funktion auf einem Intervall.

In dem Analyse, eine Unterregion der Mathematik, wird ein echter Wert Funktion${displaystyle f}$, definiert bei einigen Intervall, konvex über dieses Intervall aufgerufen, falls für zwei beliebige Punkte ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ in diesem Intervall und für jedes ${displaystyle t}$ in [0,1] gilt, dass

${Anzeigestil f(tx (1-t)y)leq tf(x) (1-t)f(y)}$

Mit anderen Worten, eine Funktion ist konvex dann und nur dann, wenn ihr Epigraph (die Menge von Punkten, die auf oder über dem Diagramm) liegend) a konvexe Sammlung ist.

In Bildern ausgedrückt heißt eine Funktion in einem bestimmten Intervall 'konvex', wenn die Funktion für zwei beliebige Punkte in diesem Intervall unterhalb der Geraden liegt. Liniensegment das verbindet diese beiden Punkte. Eine solche Funktion wird manchmal auch genannt hohl in diesem Intervall.

Eine Funktion wird streng konvex benannt als

${Anzeigestil f(tx (1-t)y)$

für jedes ${displaystyle t}$ in (0.1) und ${Anzeigestil xeq y}$.

Konkave Funktion

Von einer Funktion ${displaystyle f}$ es wird gesagt, dass dies konkav ist wie ${displaystyle -f}$ ist konvex. Es wird manchmal auch als a . bezeichnet hohl Funktion. Eine konvexe Funktion wird auch a mollig Funktion genannt.

Eigenschaften

wenn ${displaystyle f}$ konvex liegt im Intervall ${Anzeigestil I,}$ und ${Displaystil I_{0}}$ ist der intern von ${Anzeigestil I}$ (d.h. alle Kantenpunkte weglassen), dann hat ${displaystyle f}$ auf ${Displaystil I_{0}}$ überall eine linke Ableitung ${displaystyle f_{-}'}$ und eine rechte Ableitung ${displaystyle f_{ }'}$. Beide sind steigende Funktionen, und ${displaystyle f_{-}'leq f_{ }'}$. Sie sind gleich (und auch ${displaystyle f}$ablenkbar) bis auf eine zählbare Anzahl von Punkten.^[1]

Eine Funktion ${displaystyle f}$ ist auf dem offenen Intervall konvex ${Anzeigestil I}$ genau dann, wenn es geschrieben werden kann als Integral- einer steigenden Funktion ${displaystyle g}$ in diesem Intervall:^[1]

${displaystyle existiert cin I,forall xin I:f(x)-f(c)=int _{t=c}^{x}g(t),mathrm {d} t}$

Siehe auch

• Konvex
• Konvexe Sammlung

Externe Links

• (und) Stephen Boyd und Lieven Vandenberghe, Konvexe Optimierung (pdf)