WikiDer > Monotone Funktion

Monotone Anstiegsfunktion

Monotone absteigende Funktion

Nicht monotone Funktion

In dem Mathematik ist ein monotone Funktion ein Funktion dass die Auftrag speichert, so dass mit zunehmendem Streit entweder nicht fallend oder nicht steigend. Mit anderen Worten, mit zunehmendem ${Anzeigestil x}$ nimmt ${Anzeigestil f(x)}$ nicht abnehmend oder mit zunehmendem ${Anzeigestil x}$ nimmt ${Anzeigestil f(x)}$ nicht zulassen.

Definition

Ein wirklich würdiges Feature ${displaystyle f}$ definiert am (a Teilmenge des reale Nummern heiß steigend (ebenfalls monoton steigend oder eintönig nicht absteigend), wie für alle ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ gilt:

${displaystyle xleq yRechtspfeil f(x)leq f(y).}$

Außerdem gilt:

${Anzeigestil x$

dann heiß ${displaystyle f}$streng steigend.

Analog heiß ${displaystyle f}$absteigend (ebenfalls monoton absteigend oder eintönig nicht aufsteigend), wie für alle ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ gilt:

${displaystyle xleq yRechtspfeil f(x)geq f(y).}$

Außerdem gilt:

${Anzeigestil xf(y),}$

dann heiß ${displaystyle f}$streng absteigend.

Eine steigende oder fallende Funktion heißt a eintönig Funktion.

Eigenschaften

Eine monotone Funktion ${displaystyle f}$ hat folgende Eigenschaften:

• in jedem punkt der Domain existieren die linken und rechten BestaananGrenzen von ${Anzeigestil f;}$
• die Grenze von ${displaystyle f}$ in ∞ oder −∞ existiert tatsächlich oder uneigentlich (∞ oder −∞);
• ${displaystyle f}$ gerade gesprungenDiskontinuitäten;
• die punkte wo ${displaystyle f}$ diskontinuierlich sind höchstens zählbar.

Darüber hinaus gelten folgende Aussagen:

Thesen

• Eine auf einem beschränkten Intervall definierte monotone Funktion ist Riemann integrierbar.

• Eine monotone Funktion, die auf einem Intervall definiert ist ${Anzeigestil D}$ ist fast überall (d.h. auf einer Sammlung von Lebesgue-Größe 0 nach) ein ${Anzeigestil D}$differenzierbar.