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Cykelnotatie

In dem Kombinatorik, eine Unterregion der Mathematik, ist der Zyklusnotation eine nützliche Konvention zum Schreiben von a Permutation in Bezug auf seine Bestandteile Fahrräder

Definition

spät ${Anzeigestil S}$ ein endlich Sammlung sein und spät

{displaystyle a_{1},ldots ,a_{k},quad kgeq 2}

verschiedene Elemente von ${Anzeigestil S}$ sein. Der Ausdruck

{displaystyle (a_{1} ldots a_{k})}

bezeichnet den Zyklus σ. Die Gruppenaktion von σ ist

{displaystyle a_{1}mapto a_{2}mapto a_{3}ldots a_{k}mapto a_{1}.}

Für jeden Index ich,

{displaystyle sigma (a_{i})=a_{i 1},}

wahr ${displaystyle a_{k 1}}$ gleich ${displaystyle a_{1}}$ .

Es gibt ${displaystyle k}$ verschiedene Ausdrücke für denselben Zyklus; Die folgenden Ausdrücke sind alle Darstellungen desselben Zyklus:

{displaystyle (a_{1} a_{2} a_{3} ldots a_{k})=(a_{2} a_{3} ldots a_{k} a_{1})=cdots =(a_{k} a_ {1} a_{2} ldots a_{k-1}).,}

Ein 1-Element-Zyklus hat die gleiche Bedeutung wie der Identitätsvertauschung und wird daher weggelassen. Es ist üblich, die Identitätspermutation einfach auszudrücken als ${displaystyle(),}$ .

Permutation als Produkt disjunkter Zyklen

spät ${Anzeigestil pi}$ eine Permutation von ${Anzeigestil S}$ sein und spät

{displaystyle S_{1},ldots ,S_{k}Teilmenge S,quad kin mathbb {N} }

das Arbeitsplätze von ${Anzeigestil pi}$ mehr als 1 Element haben. Für jedes ${displaystyle j=1,ldots,k}$ spät ${displaystyle n_{j}}$ das Kardinalität von ${displaystyle S_{j}}$ zeigen. Also wähle einen aus ${Displaystil a_{1,j}in S_{j}}$ und definieren

{displaystyle a_{i 1,j}=pi (a_{i,j}),quad iin mathbb {N} .,}

Kann man jetzt ${Anzeigestil pi}$ als Produkt disjunkter Zyklen ausdrücken, nämlich

{displaystyle pi =(a_{1,1} ldots a_{n_{1},1})(a_{1,2} ldots a_{n_{2},2})ldots (a_{1,k} ldots a_ {n_{k},k}).,}

Beispiel

Es gibt 24 Elemente in der symmetrische Gruppe ${Anzeigestil {1,2,3,4}}$ . Diese können in Zyklennotation geschrieben und nach ihrer Konjugationsklassen: