WikiDer > Beruf (Gruppentheorie)

In dem Gruppentheorie, ein Teilgebiet der Mathematiker Algebra, ist der Job für jeden Punkt einer Sammlung definiert, auf dem eine Gruppe tätig ist. Der Track besteht aus den Punkten, die von den Elementen der Gruppe zum Punkt hinzugefügt wurden. Die Gruppe zeichnet sozusagen für jeden Punkt einen Pfad in der Sammlung.

Definition

spät ${Anzeigestil G}$ eine Gruppe sein, die funktioniert auf einen Sammlung${Anzeigestil X}$. Das Job${Anzeigestil Gx}$ von einem Punkt ${displaystyle xinX}$ unter der Gruppe ${Anzeigestil G}$ ist der Teilmenge der Pixel von ${Anzeigestil x}$:

${displaystyle Gx={gx|gin G}}$

Aus den Gruppeneigenschaften folgt, dass die Trajektorien der verschiedenen Punkte ${displaystyle xinX}$ ein Partition von ${Anzeigestil X}$ Formen. Die entsprechende Äquivalenzrelation ist definiert durch

${displaystyle xsim yLongleftrightarrow existiert gin G:y=gx}$.

Mit anderen Worten, zwei Punkte sind äquivalent, wenn sie die gleiche Umlaufbahn haben:

${displaystyle xsim yLongleftrightarrow Gy=Gx}$.

Wenn die Gruppenaktion transitiv ist, es gibt nur eine Umlaufbahn, d. h. für alle Punkte ${displaystyle xinX}$ gilt: ${Anzeigestil Gx=X}$. Umgekehrt ist die Gruppenaktion transitiv, wenn es nur einen Orbit gibt. Die Menge der Jobs wird als genoteerd . geschrieben ${Anzeigestil X/G}$, es Quotient der Gruppenaktion.

Anwendung auf eine Isometriegruppe in einem euklidischen Raum

Ein Job von a Isometriegruppe ist die Menge von Punkten, an denen ein Fixpunkt durch die Isometrien wird gezeigt. Eine Isometrie heißt diskret, wenn die Bahnen der Isometriegruppe diskrete Kollektionen sein. Wenn die Isometriegruppe endlich ist, sind es auch die Bahnen, also ist die Isometriegruppe diskret.

Übersetzungsgruppen

Es besteht eine 1-zu-1-Beziehung zwischen Translationsgruppen in einem euklidischen Raum und den Teilmengen dieses Raums, wobei jede Translation dem Translationsvektor entspricht und die Zusammensetzung von zwei Translationen der Addition der Translationsvektoren entspricht. Die Bahnen einer Translationsgruppe sind verschobene Versionen^[1] der entsprechenden Untergruppe. Eine Übersetzungsgruppe ist genau dann diskret, wenn die Untergruppe diskret ist.

Gefallen in einer Dimension

Endlich:

• Die Untergruppe des eindimensionalen Raums ist die triviale Gruppe, also auch die Übersetzungsgruppe.

Diskret, unendlich:

• Die Übersetzungsgruppe wird durch eine nicht-triviale Übersetzung erzeugt. Die Untergruppe des eindimensionalen Raums ist ein eindimensionaler einheitlicher ZeitplanEbenso die Arbeitsplätze.

Nicht diskret, nicht alle Übersetzungen. Beispiele:

• Die Untergruppe der reellen Zahlen enthält Zahlen mit einem irrationalen gegenseitigen Quotienten. Diese Untergruppe ist geschlossen in der Menge der reellen Zahlen, ist ihnen aber nicht gleich. Zum Beispiel wird die Isometriegruppe erzeugt durch ${Anzeigestil f(x)=x 1}$ und ${Anzeigestil f(x)=x e}$ und besteht aus den Isometrien ${Anzeigestil f(x)=x m ne}$ für alle ganzen Zahlen ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n}$. Es gibt unzählige Umlaufbahnen, die verschobene Versionen des Sets sind ${displaystyle {m ne|m,nin mathbb {Z}}}$, die der Menge der reellen Zahlen nahe kommt.
• Die Teilmenge der reellen Zahlen ist ${displaystyle mathbb {Q} }$, die Menge der rationalen Zahlen, so besteht die Translationsgruppe aus den Translationen über eine rationale Distanz. Die Jobs sind ${displaystyle mathbb {Q} }$ und sind verschobene Versionen. Verschobene Versionen stimmen überein, wenn der Verschiebungsunterschied eine Translation über eine rationale Distanz ist.

Alle Übersetzungen:

• Es gibt eine Spur, die aus der gesamten Geraden besteht.

Neben den entsprechenden Translationen enthalten die Symmetriegruppen der Untergruppen auch Reflexionen (siehe auch unten). Die Symmetriegruppen von Objekten im eindimensionalen Raum sind Untergruppen dieser Symmetriegruppen. Sie können neben den entsprechenden Übersetzungen platziert werden^[2] kann auch die Reflexionen enthalten oder nicht, vorausgesetzt, es gibt keine Objekte, deren Symmetriegruppe allein die Isometriegruppe aller Translationen ist.

Isometriegruppen mit Reflexion

Gefallen in einer Dimension

Endlich:

• Die Isometriegruppe hat Ordnung 2 und wird durch eine Spiegelung erzeugt.

Diskret, unendlich:

• Die Isometriegruppe wird durch eine Translation und eine Reflexion erzeugt.

Nicht diskret, nicht alle Isometrien:

• Es gibt Übersetzungen mit einem irrationalen gegenseitigen Quotienten, und es gibt eine Reflexion (und damit viele Reflexionen). Die Jobs sind zu in der Menge der reellen Zahlen, sind ihnen aber nicht gleich. Zum Beispiel wird die Isometriegruppe erzeugt durch ${Anzeigestil f(x)=x 1}$, ${Anzeigestil f(x)=x e}$ und ${Anzeigestil f(x)=-x}$ und besteht aus den Isometrien ${Anzeigestil f(x)=x m ne}$ und ${Anzeigestil f(x)=-x m ne}$ für alle ganzen Zahlen ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n}$. Die Reflexionen sind an den Punkten der Menge ${displaystyle {m/2 ne/2|m,nin mathbb {Z}}}$, die der Menge der reellen Zahlen nahe kommt.

Alle Isometrien:

• Es gibt eine Spur, die aus der gesamten Geraden besteht.

Anwendung auf eine Symmetriegruppe

Ein Job von a Symmetriegruppe ist eine Menge von Punkten, die bei dieser Symmetrie die gleiche "Farbe" haben^[3] haben müssen. Eine Symmetrie heißt diskret, wenn die Bahnen der Symmetriegruppe diskrete Kollektionen sein. Wenn die Symmetriegruppe endlich ist, sind es auch die Bahnen, es liegt also eine diskrete Symmetrie vor.

Beispiele in einer Dimension

Endlich:

• Keine Symmetrie. Jede Spur ist ein Punkt. Es Fundamentalbereich ist das ganze gerade.
• Spiegel Symmetrie. Es gibt eine Fahrspur mit einem Punkt, die anderen Fahrspuren bestehen aus zwei Punkten. Ein Fundamentalbereich ist eine Halblinie vom Spiegelpunkt.

Diskret, unendlich:

• Bei diskreter Translationssymmetrie enthält jede Umlaufbahn einen Punkt pro Translationsintervall. Ein Fundamentalbereich (und auch a Einheitszelle) ist ein halboffenes Übersetzungsintervall.
• Bei diskreter Translationssymmetrie mit Spiegelung gibt es zwei Pfade mit einem Punkt pro Translationsintervall und weitere Pfade mit zwei Punkten pro Translationsintervall. Ein Fundamentalbereich ist ein geschlossenes Translationsintervall zwischen zwei aufeinanderfolgenden Spiegelpunkten.

Nicht diskret, nicht alle Isometrien:

• Diese Art der Symmetrie ist sowohl ohne als auch mit Spiegelung möglich, kann aber nicht visualisiert werden, es ist a Zwischenform zwischen diskreter und kontinuierlicher Symmetrie.
  • Ein Beispiel ohne Reflexion ist das Objekt ${displaystyle {m ne p{sqrt {2}}mid m,nin mathbb {Z},pin {0,1,3}}}$. Die Symmetriegruppe wird durch die Translationen erzeugt ${Anzeigestil f(x)=x 1}$ und ${Anzeigestil f(x)=x e}$ und besteht aus den Übersetzungen ${Anzeigestil f(x)=x m ne}$ für alle ganzen Zahlen ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n}$. Es gibt unzählige Umlaufbahnen, die verschobene Versionen des Sets sind ${displaystyle {m ne|m,nin mathbb {Z}}}$, die der Menge der reellen Zahlen nahe kommt.
  • Ein Beispiel mit Reflexion ist das Objekt ${displaystyle {m nemid m,nin mathbb {Z}}}$. Die Symmetriegruppe wird durch die Translationen erzeugt ${Anzeigestil f(x)=x 1}$ und ${Anzeigestil f(x)=x e}$ und Spiegelung bezüglich 0: ${Anzeigestil f(x)=-x}$. Dies besteht aus den Übersetzungen ${Anzeigestil f(x)=x m ne}$ und die reflexionen ${Anzeigestil f(x)=-x m ne}$ für alle ganzen Zahlen ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n}$. Es gibt unzählige Jobs. Der Job, der es auf den Punkt gebracht hat ${Anzeigestil q}$ enthält besteht aus den Kollektionen ${displaystyle {q m ne|m,nin mathbb {Z}}}$ und ${displaystyle {-q m ne|m,nin mathbb {Z} }}$.

Alle Isometrien:

• Gleichmäßigkeit. Es gibt eine Spur, die aus der gesamten Geraden besteht. Jede Menge mit einem Punkt ist ein Fundamentalbereich und eine Elementarzelle.

Es gibt keine Objekte mit als Symmetriegruppe nur die Isometriegruppe aller Translationen.

Beispiele in zwei Dimensionen

Endlich:

• Biene Rotationssymmetrie${displaystyle C_{n}}$ Gibt es eine Umlaufbahn, die nur aus dem Mittelpunkt besteht und weitere Umlaufbahnen mit ${displaystyle n}$ Punkte.
• Biene Diedersymmetrie${displaystyle D_{n}}$ Gibt es eine Umlaufbahn, die nur aus dem Mittelpunkt besteht, Umlaufbahnen von ${displaystyle n}$ Punkte auf der Hälfte der Spiegel (halbrechts) und weitere Umlaufbahnen mit ${Displaystil 2n}$ Punkte.

Diskret, unendlich:

• Bei Rotationssymmetrie, die durch Drehung um einen Winkel im Bogenmaß erzeugt wird, gibt es eine Bahn, die nur aus dem Mittelpunkt besteht, und weitere Bahnen mit abzählbar unendlichen Punkten, die in Kreisen eng beieinander liegen.
• Biene Streifenmustergruppen die Bahnen haben 1, 2 oder 4 Punkte pro komplettem Streifen mit der Breite als Länge des Translationsvektors.
• Biene Tapetenmustergruppen haben die meisten Jobs pro Einheitszelle eine Anzahl von Punkten, die der Anzahl der Kopien des entspricht Fundamentalbereich in einer Elementarzelle. Es gibt weniger von ihnen in Umlaufbahnen von Rotationspunkten und von Punkten auf Spiegeln.

Andere:

• Mit Gleichförmigkeit in einer Richtung sind die Bahnen Linien in dieser Richtung.
• Biene Kreissymmetrie es gibt eine Umlaufbahn, die nur aus dem Mittelpunkt besteht, und die anderen Umlaufbahnen sind Kreise um diesen Punkt.
• Bei völliger Gleichmäßigkeit gibt es eine Fahrspur, die aus der gesamten Ebene besteht.

Beispiele in drei Dimensionen

• Für eine Symmetriegruppe mit einem gemeinsamen Fixpunkt Die meisten Bahnen haben so viele Punkte wie die Ordnung der Symmetriegruppe. Es gibt weniger von ihnen in Umlaufbahnen von Rotationspunkten und von Punkten auf Spiegeln.
• Mit Gleichförmigkeit in einer Richtung sind die Bahnen Linien in dieser Richtung.
• Biene zylindrische Symmetrie es gibt Bahnen, die aus einem Punkt auf der Symmetrieachse und Kreisen um die Symmetrieachse bestehen.
• Biene Schraubensymmetrie ist die Symmetrieachse eine Bahn, und die anderen Bahnen sind Spiralen um diese Achse.
• Mit Gleichförmigkeit in zwei Richtungen sind die Umlaufbahnen parallele Ebenen, die durch diese Richtungen bestimmt werden.
• Biene die Symmetrie eines unendlichen Zylinders die Symmetrieachse ist eine Umlaufbahn, und die anderen Umlaufbahnen sind Zylinder um diese Achse.
• Biene Kugelsymmetrie das Zentrum der Symmetriebahnen, und die anderen Bahnen sind Kugeln um diesen Punkt.
• Bei völliger Einheitlichkeit gibt es eine Fahrspur, die aus dem gesamten Raum besteht.

Siehe auch

• Fundamentale Domäne