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In dem Analyse, eine Filiale der Mathematik, ist der Darboux-Integral eine der möglichen Definitionen von Integral- einer Funktion. Das Darboux-Integral ist äquivalent zu dem Riemann-Integral, in dem Sinne, dass eine Funktion genau dann Darboux-integrierbar ist, wenn sie Riemann-integrierbar ist und in diesem Fall die Integrale gleich sind. Die Definition des Darboux-Integrals ist einfacher als die des Riemann-Integrals. Das Integral ist nach dem französischen benannt MathematikerGaston Darboux, denen das Integral normalerweise zugeschrieben wird. Die Grundidee des Darboux-Integrals ist die gleiche wie beim Riemann-Integral und wegen der Äquivalenz wird das Darboux-Integral oft als Riemann-Integral bezeichnet.

Beide Integrale unterteilen das Integrationsintervall mit zunehmender Komplexität in Teilintervalle. Wo der Riemann das Integral über ein Teilintervall durch ein geeignetes Rechteck über diesem Teilintervall approximiert, nimmt Darboux das Integral zwischen zwei Rechtecken als Extremwerte auf, wobei das kleinste Rechteck, das die gesamte Fläche unter dem Graphen umfasst, und das größte darin enthaltene Rechteck ist.

Definition

Untere und obere Summe für vier Teilintervalle

Mit der Verfeinerung nimmt die untere Summe zu und die obere Summe ab

Für die Definition des Darboux-Integrals werden einige Konzepte benötigt.

EIN Verteilung des Intervalls ${Anzeigestil [a,b]}$ ist eine endliche Zahlenfolge der Form:

${displaystyle a=x_{0}$.

Beliebiges Intervall ${Anzeigestil [x_{i-1},x_{i}]}$ heißt a Teilungsintervall der Verteilung.

Für eine echte Funktion ${displaystyle f}$ definiert auf dem Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$ mit Teilung ${Anzeigestil V}$, heiß

${displaystyle {overline {S}}(f,V)=Summe _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$.

das über summe von f in Bezug auf die Verteilung Vund

${displaystyle {unterstreichen {S}}(f,V)=Summe _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1})}$.

das unterste Summe von f in Bezug auf die Verteilung V.

Darin sind:

${displaystyle { egin{aligned}M_{i}=sup _{xin [x_{i-1},x_{i}]}f(x),/m_{i}=inf _{xin [x_{i- 1},x_{i}]}f(x).end{ausgerichtet}}}$

Darboux-Integral

Eine beschränkte reelle Funktion ${displaystyle f}$ definiert auf dem Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$, heiß Darboux kann integriert werden mit Integral l wenn

${displaystyle inf _{V}{overline {S}}(f,V)=sup _{V}{underline {S}}(f,V)=L}$

Beispiele

1. Lass f sei die konstante Funktion mit dem Wert 1 im Intervall [0,1]. Jede obere und untere Summe hat den Wert 1, also ist das Integral über das Intervall ebenfalls 1.

2. Im Intervall [0,1] ist die Funktion ${Anzeigestil f(x)=x}$ gegeben. Teilen Sie das Intervall in nein gleiche Teile. Dann ist:

${displaystyle {overline {S}}(f,V)=sum _{i=1}^{n}{frac {i}{n}}{frac {1}{n}}={frac {n 1} {2n}}}$

und

${displaystyle {underline {S}}(f,V)=sum _{i=1}^{n}{frac {i-1}{n}}{frac {1}{n}}={frac {n -1}{2n}}}$

So ist

${displaystyle lim _{n}{overline {S}}(f,V)=lim _{n}{frac {n 1}{2n}}={frac {1}{2}}}$

und auch

${displaystyle lim _{n}{unterstreichen {S}}(f,V)=lim _{n}{frac {n-1}{2n}}={frac {1}{2}}}$,

Die Funktion f (X)=X ist somit Darboux-integrierbar auf [0,1] und

${displaystyle int _{0}^{1}xmathrm {d} x={ frac {1}{2}}}$.

3. Im Intervall [0,1] ist die Funktion ${Anzeigestil f(x)=x^{2}}$ gegeben. Teilen Sie das Intervall in nein gleiche Teile. Dann ist:

${displaystyle {overline {S}}(f,V)=sum _{i=1}^{n}left({frac {i}{n}}ight)^{2}{frac {1}{n} }={frac {(n 1)(2n 1)}{6n^{2}}}}$

und

${displaystyle {underline {S}}(f,V)=sum _{i=1}^{n}left({frac {i-1}{n}}ight)^{2}{frac {1}{ n}}={frac {(n-1)(2n-1)}{6n^{2}}}}$

So ist

${displaystyle lim _{n}{overline {S}}(f,V)=lim _{n}{underline {S}}(f,V)={ frac {1}{3}}}$.

Die Funktion ${Anzeigestil f(x)=x^{2}}$ ist somit Darboux-integrierbar auf [0,1] und

${displaystyle int _{0}^{1}x^{2}mathrm {d} x={ frac {1}{3}}}$.

4. Lass f das Anzeigefunktion sind von der Rationale Zahlen im Intervall [0,1]. Jede obere Summe hat den Wert 1 und jede untere Summe hat den Wert 0, also die f ist auf dem Intervall [0.1] nicht darbouxintegrierbar.

Siehe auch

• Riemann-Integration
• Lebesgue-Integral