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EIN Rationale Zahl ist in der Mathematik es Quotient, Verhältnis, Latein: Verhältnis, von zwei ganze Zahlen die zweite davon ist nicht null. Das Sammlung rationaler Zahlen wird normalerweise notiert als ${displaystyle mathbb {Q} }$.

Schematische Darstellung des Zusammenhangs zwischen den verschiedenen Zahlensätzen

Die rationalen Zahlen sind Teil der reale Nummern${displaystyle mathbb {R} }$ und schließe die ein ganze Zahlen${displaystyle mathbb {Z} }$. Jede ganze Zahl ist also auch eine rationale Zahl und jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl.

${displaystyle mathbb {Z} Teilmenge mathbb {Q} Teilmenge mathbb {R} }$

Beispiele für rationale Zahlen sind:

${displaystyle { frac {1}{2}}, {frac {2}{7}}, {frac {9}{4}}, -{ frac {2}{5}}, -{ frac {5}{ 2}}}$

Auch jede ganze Zahl ist rational, also auch:

${displaystyle 1={ frac {1}{1}}={ frac {3}{3}}, 14={ frac {14}{1}}={ frac {56}{4}}}$, usw.

Jede Dezimalzahl mit endlich viele Dezimalstellen ist eine rationale Zahl:

0,5	=	5/10 = 1/2
0,17	=	17/100
0,567943209	=	567943209/1000000000

Allerdings lässt sich nicht jede rationale Zahl als Dezimalzahl mit endlich vielen Nachkommastellen schreiben. Beispielsweise:

1/3 = 0,3333...

und

15/7 = 2,142857 142857 142857 142857...,

sind beides Dezimalzahlen mit unendlich vielen Dezimalstellen, aber mit einem sich wiederholenden Muster. Man spricht von sich wiederholender Bruch. Es kann bewiesen werden, dass jede rationale Zahl im Dezimalsystem Hinter Komma eine endliche Zahl Zahlen hat oder ist ein sich wiederholender Bruch. Wenn eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen kein sich wiederholendes Muster hat, ist sie a irrationale Zahl.

Die Begründung Zahlen ist nicht endlich, aber es ist zählbar. Die rationalen Zahlen liegen in der Nähe der Real Linie, was bedeutet, dass jeder Punkt auf dieser Linie willkürlich durch eine rationale Zahl angenähert werden kann. Allerdings gibt es auch unendlich viele 'Löcher', denn zwischen jedem Paar rationaler Zahlen liegt a irrationale Zahl.

Zahlen wie die Wurzel von 2, π und e gehören nicht zur Menge der rationalen Zahlen, da sie nicht als a . auftreten Fraktion, also wenn Quotient von zwei ganzen Zahlen geschrieben werden. Diese Zahlen werden als irrational bezeichnet.

Operationen mit rationalen Zahlen

Als Menge lassen sich die rationalen Zahlen nach obiger Definition schreiben als

${displaystyle mathbb {Q} =links{{frac {a}{b}}:a,bin mathbb {Z} ,beq 0ight}}$,

in welchem ${displaystyle mathbb {Z} }$, ist die Menge der ganzen Zahlen.

${displaystyle mathbb {Q} }$ liegt an den Eigenschaften der Zusatz und Multiplikation ein beispiel für a Körper (Niederlande) oder Feld (Belgisch). Für die Betrieb die wir mit rationalen Zahlen durchführen können, gelten die folgenden Regeln.

Summieren:	${displaystyle {frac {a}{b}} {frac {c}{d}}={frac {ad bc}{bd}}}$
Multiplizieren:	${displaystyle {frac {a}{b}}cdot {frac {c}{d}}={frac {acdot c}{bcdot d}}}$
Subtrahieren:	${displaystyle {frac {a}{b}}-{frac {c}{d}}={frac {ad-bc}{bd}}}$
Teilen:	${displaystyle {frac {a}{b}}:{frac {c}{d}}={frac {acdot d}{bcdot c}}qquad (ceq 0)}$

Eigenschaften

${displaystyle mathbb {Q} }$ ist der Quotientenfeld von dem Integritätsdomäne${displaystyle mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen.

${displaystyle mathbb {Q} }$ ist der kleinste Körper von charakteristisch 0. Jeder andere Körper des Merkmals 0 enthält eine Kopie von ${displaystyle mathbb {Q} }$.

Die rationalen Zahlen sind nicht algebraisch geschlossen, zum Beispiel weil die Quadratwurzel der rationalen Zahl 2 ist wiederum nicht rational.^[1]

Die algebraische Schließung von ${displaystyle mathbb {Q} }$ ist der Körper des algebraische Zahlen. Diese Sammlung ist gekennzeichnet als ${displaystyle {overline {mathbb {Q}}}}$ (oder ${displaystyle mathbb {A} }$) und ist wie ${displaystyle mathbb {Q} }$ zählbar. Bitte beachten Sie, ${displaystyle {overline {mathbb {Q}}}}$ ist nicht gleich dem Körper ${displaystyle mathbb {C} }$ des komplexe Zahlen, das ist der algebraische Abschluss der reellen Zahlen.

Formale Definition

Die rationalen Zahlen können formal definiert werden als Äquivalenzklassen von Paaren von ganzen Zahlen, wobei die zweite nicht Null ist. Zwei Brüche gehören dann zu denselben Äquivalenzklassen, wenn sie dieselbe rationale Zahl sind.

Bedenke die Produktkollektion${displaystyle mathbb {Z} imes mathbb {Z} _{0}}$, das ist die Menge aller bestellte Paare von ganzen Zahlen, deren zweite von 0 verschieden ist. Auf dieser Produktmenge bestimmt man a Äquivalenzrelation indem man sagt, dass das bestellte Paar ${Anzeigestil (a,b)}$ entspricht dem Paar ${Anzeigestil (c, d)}$ wenn ${displaystyle acdot d=bcdot c}$.

Damit dies eine Äquivalenzrelation ist, ist die Transitivität überprüft werden: wenn ein drittes bestelltes Paar ${Anzeigestil (e,f)}$ ist äquivalent zu ${Anzeigestil (c, d)}$, dann auch mit ${Anzeigestil (a,b)}$. Dies lässt sich berechnen:

${displaystyle dcdot (acdot f-bcdot e) = acdot dcdot f-bcdot dcdot e = bcdot ccdot f-bcdot dcdot e = bcdot (ccdot f-dcdot e) = 0}$

und weil ${displaystyle d}$ ist verschieden von 0, muss ${displaystyle acdot f=bcdot e}$.

Die Äquivalenzklasse des geordneten Paares wird notiert ${Anzeigestil (a,b)}$ wenn der Bruch ^ein⁄_b. Es kann überprüft werden, dass die allgemeinen Regeln für die Addition und Multiplikation von Brüchen mit dieser Äquivalenzrelation kompatibel sind (die Ergebnisse sind unabhängig vom gewählten Vertreter einer Äquivalenzklasse) und dass sie die Struktur von a . darstellen Körper (Name in den Niederlanden) oder Feld (Name in Belgien). Die Elemente dieses Feldes/Feldes werden rationale Zahlen genannt.