WikiDer > Lebesgue-Integral

Beim Mathematiker Analyse gibt dem Integral- einer positiven Funktion hat eine genaue Bedeutung für das Konzept der "Fläche unter der Kurve". Das einfachste integrale Konzept basiert auf der Formulierung von Bernhard Riemann und ist deshalb manchmal Riemann-Integral erwähnt. Das lebesgue integral, benannt nach seinem Schöpfer Henri Lebesgue, ist ein Konstrukt, das eine größere Klasse von Funktionen integrierbar macht; es kann auch über andere Domänen als die reellen Zahlen verwendet werden.

Aussagen zu Grenzen aus Integralen sind mit dem Lebesgue-Integral oft einfacher zu formulieren und zu beweisen als mit dem Riemann-Integral.

Bau des Lebesgue Integral

Ein übersichtlicher Aufbau des Lebesgue-Integrals erfolgt in folgenden Schritten:

• Einführung messbarer Kollektionen
• Definition des Maßes messbarer Mengen, Maßtheorie
• Einführung messbarer Funktionen
• Definition des Integrals der nicht-negativen messbaren Funktion
• das Integral von (einigen) anderen messbaren Funktionen

Messbare Sammlungen

Den Grundstein für Messbarkeit legen Intervalle. Ein Intervall kann leicht gemessen werden und hat sowohl Länge als auch Maß. Auch Kombinationen von Intervallen sind messbar. Die Maßtheorie zeigt, dass solche Kombinationen in a Sigma-Algebra oder Stamm. Das borelstam der reellen Zahlen ist die kleinste σ-Algebra, die alle Intervalle enthält und somit durchaus messbare Mengen enthält.

Lebesgue-Größe

sehen Lebesgue-Größe für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Der Borelstamm ist mit einem Maß ausgestattet, das borelmaat, die eindeutig festgelegt wird, indem man jedem endlichen Intervall als Maß seine Länge und eine bestimmte Art zuordnet Kontinuität nämlich dass für eine absteigende Reihe von Mengen die Grenze der Maße der Reihe von Mengen gleich dem Maß der Grenze der Reihe ist. Das resultierende Raum messen ist nicht völlig, was bedeutet, dass nicht jede Teilmenge von a Nullmenge ist messbar. Der Borel-Stamm wird nun auf die lebesguestam, die kleinste σ-Algebra, die den Borel-Stamm und alle Teilmengen von Borel-Nullmengen enthält. Das Borel-Maß lässt sich eindeutig auf den gesamten Lebesgue-Stamm ausdehnen und heißt dann lebesgue kamerad.

Messbare Funktion

Eine Funktion ${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R}}$ heiß (lebesgue-)messbar wenn ${displaystyle f}$ respektiert den Lebesgue-Stamm, was bedeutet, dass das inverse Bild einer messbaren Menge immer messbar ist.

Man kann die Existenz von Mengen und Funktionen demonstrieren, die nicht lebesgue messbar sind. Die meisten realen Funktionen, die in alltäglichen Anwendungen vorkommen, sind jedoch messbar.

Integral einer messbaren Funktion

Das (lebesgue-)Integral einer messbaren Funktion wird sukzessive definiert für:

• Anzeigefunktionen
• Einzelfunktionen
• nicht negativ messbare Funktionen
• (einige) gemeinsame messbare Funktionen

Das Anzeigefunktion einer messbaren Sammlung ${Anzeigestil A}$, bemerkt ${Displaystil 1_{A}}$, nimmt auf allen Elementen von den Wert 1 an ${Anzeigestil A}$ und 0 überall sonst.

Das Integral von ${Displaystil 1_{A}}$ ist per Definition gleich dem Maß von ${Anzeigestil A}$:${displaystyle int 1_{A},{m {d}}mu =mu (A)}$

Die Größe von ${Anzeigestil A}$, also auch das Integral von ${Displaystil 1_{A}}$, kann möglicherweise unendlich sein.

Integral einer positiv stetigen, also messbaren Funktion. In blau die Riemann-Integral, in rot die Approximation des Lebesgue-Integrals über eine einfache Funktion

EIN Singular Funktion ist endlich lineare Kombination der Anzeigefunktionen mit positivem Koeffizienten${displaystyle a_{i}}$:

${Anzeigestil f(x)=Summe _{i=1}^{n}a_{i}1_{A_{i}}(x)}$

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass die Teilmengen ${Displaystil A_{i}}$ paarweise zusammenhangslos sein. Die Koeffizienten ${displaystyle a_{i}}$ sind dann die möglichen Funktionswerte von ${displaystyle f}$.

Das Integral einer einfachen Funktion ist definiert als die entsprechende Linearkombination der Integrale der beteiligten Indikatorfunktionen (Linearität):

${displaystyle int f,{m {d}}mu =sum _{i=1}^{n}a_{i}int 1_{A_{i}},{m {d}}mu =sum _{i= 1}^{n}a_{i}mu (A_{i})}$

Für jede nicht negativ messbare Funktion ${displaystyle f}$ das Integral wird durch eine Näherung mit Integralen einfacher Funktionen definiert:

${displaystyle int f,{m {d}}mu =sup{int e,{m {d}}mu ,|,eleq f,e{hbox{ Singular}}}}$

Schließlich kann jede reelle Funktion als Differenz zweier nichtnegativer Funktionen geschrieben werden:

${displaystyle f=f^{ }-f^{-},}$

wahr ${displaystyle f^{ }=max{f,0}}$ und ${displaystyle f^{-}=max{-f,0}}$.

Die Funktion ${displaystyle f}$ heiß integrierbar wenn ${displaystyle f^{ }}$ und ${displaystyle f^{-}}$ beide haben ein endliches Integral. In diesem Fall wird das Integral von ${displaystyle f}$ definiert von

${displaystyle int f,{m {d}}mu =int f^{ }{m {d}}mu -int f^{-}{m {d}}mu}$

Riemann-Integral

Alle riemann-integrierbar Funktionen sind Lebesgue integrierbar und die Werte der beiden Integrale stimmen überein.

Notation

Anstatt von ${displaystyle int f,{m {d}}mu}$ steht auch geschrieben ${displaystyle int f(x),{m {d}}mu (x)}$, obwohl die manchmal verwendete Notation ${displaystyle int f(x),mu ({m {d}}x)}$ ist die bessere Wahl. Schon seit ${displaystyle mu({m{d}}x)={m{d}}x}$, wird das auch sein ${displaystyle int f(x),{m {d}}x}$

Fast überall

Definition: eine Eigenschaft der reellen Zahlen, oder allgemein der Elemente des Trägers eines Maßraumes, gilt fast überall als die Menge, in der diese Eigenschaft nicht enthält eine Nullmenge (eine Menge, deren Lebesgue-Größe ist gleich 0).

Wir sagen also, dass zwei reelle Funktionen ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ fast überall gleich sein, wenn

${Anzeigestil mu ({x|f(x)eq g(x)})=0.}$

Das Fundamentalsatz der Integralrechnung für das Lebesgue-Integral gilt in folgender Form:

wenn ${displaystyle f}$ eine Lebesgue-integrierbare Funktion ist, und ${Anzeigestil a}$ jede reelle Zahl, dann die, primitive Funktion

${displaystyle F:mathbb {R} oder mathbb {R} : xmapsto int fcdot 1_{[a,x]},{m {d}}mu }$

fast überall differenzierbar und seine Ableitung ist fast überall gleich ${displaystyle f}$.

Integral einer Grenzwertfunktion

Im Allgemeinen sind Grenzwerte und Integrale und insbesondere Reihensummen und Integrale, werden nicht einfach vertauscht.

Gegenbeispiel

Vor dem ${Displaystil n=1,2,ldots}$ sind die Funktionen ${displaystyle f_{n}}$ gegeben von:

${displaystyle f_{n}(x)={ egin{cases}2^{n}&{mbox{if }}2^{-n}leq xleq 2cdot 2^{-n}/&/0&{mbox{elsewhere }}Ende{Fälle}}}$

dann für jede Zahl ${Anzeigestil x}$ separat, ${Anzeigestil f_{n}(x)=0}$ für groß genug ${displaystyle n}$. Die Grenzfunktion ist also nicht nur fast überall, sondern sogar überall 0. Allerdings sind die einzelnen Integrale konstant und verschieden von 0:

${displaystyle int f_{n},{m {d}}mu =2^{n}cdot left(2^{1-n}-2^{-n}night)=1.}$

Die Aussage des dominierte Konvergenz und der Satz von der of monotone Konvergenz geben hinreichende Bedingungen an, dass das Integral eines Grenzwertes gleich dem Grenzwert der Integrale ist.