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Das Diagramm der Indikatorfunktion eines zweidimensionalen Teilmenge von a Quadrat.

In dem Mengenlehre, eine Unterregion der Mathematik, ist der Anzeigefunktion von a Teilmenge, ein Funktion was zeigt an, was Elemente zur Untermenge gehören und welche nicht.

Der Begriff wird oft synonym verwendet used charakteristische Funktion verwendet, aber dieser Begriff hat auch andere Bedeutungen.

Definition

Sie ${Anzeigestil A}$ ein Sammlung und ${Anzeigestil D}$ eine Teilmenge von ${Anzeigestil A}$. Die Indikatorfunktion von ${Anzeigestil D}$ ist die Funktion ${displaystyle 1_{D}:A oder {0.1}}$ definiert von:

${displaystyle 1_{D}(x)={ egin{cases}1&{mbox{if }}xin D,//0&{mbox{if }}xotin D.end{cases}}}$

das sind also die Elemente von ${Anzeigestil D}$ auf der Zahl 1 und die Elemente der ergänzen von ${Anzeigestil D}$ auf der Zahl 0.

Die Definition der Indikatorfunktion hängt nicht nur von der Untermenge ab ${Anzeigestil D}$, aber auch von der universelle Kollektion${Anzeigestil A}$.

Beispiele

Die Indikatorfunktion von ${Anzeigestil A}$ selbst die konstante Funktion ist 1.

Die Indikatorfunktion des leere Sammlung ist die konstante Funktion 0.

Sie ${Anzeigestil A={1,2,3}}$ und ${Displaystil D={1,2}}$, dann die Indikatorfunktion von ${Anzeigestil D}$ wird bestimmt durch ${Anzeigestil D(1)=1, D(2)=1}$ und ${Anzeigestil D(3)=0}$.

Die Indikatorfunktion des Singleton {0} als Teilmenge der reale Nummern ist der Kronecker Delta${displaystyle delta_{i0}}$.

Anwendung

Indikatorfunktionen bilden eine Brücke zum Kreuzen von Positionen reellwertige Funktionen, auf Sammlungen anzuwenden.

In dem Maßtheorie das Umgekehrte wird oft angewendet: Man beweist einen ziemlich einfachen Satz über das Maß einer Teilmenge und verallgemeinert ihn zu einem Satz über die Integral- einer messbaren Funktion. Als Zwischenschritt wird oft das Integral von a verwendet Einzelfunktion betrachtet, d. h. ein endliches lineare Kombination von Anzeigefunktionen.

Bezug zur Stromsammlung

Das Stromsammlung von ${Anzeigestil A}$ steht in einer natürlichen eindeutigen Beziehung (bijektion) mit der Menge aller Funktionen von ${Anzeigestil A}$ zum Paar {0,1}, fortfahrend mit jeder Teilmenge von ${Anzeigestil A}$ seine Anzeigefunktion zuzuordnen.

Im Allgemeinen ist die Menge aller Funktionen zwischen zwei gegebenen Mengen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil A}$ notiert als ${Displaystil B^{A}}$.

Dies erklärt, warum der Leistungssatz von ${Anzeigestil A}$ oft als ${Displaystil 2^{A}}$ bemerkt man, wenn wir uns erlauben, die Menge {0,1} mit dem Symbol 2 zu bezeichnen.