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Der Sandrechner (Altgriechisch , Archimedes Psammites) ist ein Werk des hellenistisch Gelehrte Archimedes. In dieser Arbeit versucht Archimedes, eine Obergrenze für die Anzahl der Sandkörner festzulegen, die in der Universum Anzüge. Um dieses Ziel zu erreichen, musste er sich auf die gängige Praxis seiner Zeit verlassen astronomisch Modell zur Schätzung der Größe des Universums. Er musste auch einen Weg finden, über sehr große Zahlen zu sprechen. Die Arbeit, auch bekannt als Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli, ist in der Übersetzung etwa 8 Seiten lang. Es richtet sich an die Syrakus König Gelo II (ein Sohn von Hiero II von Syrakus) und ist wahrscheinlich das am leichtesten zugängliche Werk von Archimedes; in gewisser Weise ist es die erste Forschungsartikel[1] aus der Geschichte.

Große Zahlen benennen

Zunächst musste Archimedes jedoch ein System entwickeln, um große Zahlen einen Namen zu geben. Im damals gebräuchlichen Zahlensystem könnte man Zahlen in Bezug auf a . ausdrücken unzählige (μυριάς - 10.000), und indem man das Wort "Myriade" selbst verwendet, kann man dies sofort auf die Benennung aller Zahlen auf eine Myriade von Myriaden (108). Archimedes nannte die Zahlen bis 108 „die ersten Zahlen“. 108 er selbst nannte die "Einheit der zweiten Zahlen". Vielfaches dieser Einheit wurden dann die zweiten Zahlen. Die zweiten Zahlen liefen bis 108 * 108 = 1016. Diese Zahl nannte Archimedes "Einheit der dritten Zahlen", ein Vielfaches davon waren die dritten Zahlen und so weiter. Archimedes fuhr fort, Zahlen auf diese Weise zu benennen, bis zu einer Myriade von Myriaden mal der Einheit von 108-e-Nummern, das heißt

.

Nachdem Archimedes dies getan hatte, nannte er die von ihm definierten Zahlen die "Zahlen der ersten Periode" und nannte die letztere, , die "Einheit der zweiten Periode". Dann baute er die Zahlen der zweiten Periode weiter auf Vielfaches dieser Einheit analog zur Zahlenkonstruktion der ersten Periode. Auf diese Weise fortfahrend, gelangt man schließlich zu den Zahlen der „Myriad of Myriadsiche“-Periode. Die größte Zahl, die Archimedes in "The Sand Calculator" erwähnte, war die letzte Zahl in dieser Zeit,

.

Eine andere Möglichkeit, diese Zahl zu beschreiben, ist eine Eins gefolgt von (kurze Skala) achtzig Billard (80·1015) Nullen.

Das System erinnert an a Positionsnummernsystem mit Base 108. Das ist bemerkenswert, denn die alten Griechen hatten ein sehr einfaches Zahlenschreibsystem benutzt. Dieses System verwendet die 27 verschiedenen Buchstaben des griechischen Alphabets für die Einheiten 1, 2, ... 9, die Zehner 10, 20, ... 90 und die Hunderte 100, 200, ... 900.

Archimedes entdeckt und bewiesen auch der Gesetz der Exponenten

Die Kenntnis dieses Gesetzes ist notwendig, um Zehnerpotenzen manipulieren zu können.

Schätzung der Größe des Universums

Archimedes schätzte dann die Obergrenze der Anzahl der Sandkörner, die benötigt wird, um das Universum als Ganzes zu füllen. Er ging von der heliozentrisches Modell von Aristarchos von Samos. Aristarchs Arbeit über Helozentrismus ist verloren gegangen; Der Sandrechner ist einer der wenigen erhaltenen Verweise auf die Theorie des Aristarchos[2]. Der Grund für die Größe dieses Modells ist, dass die Griechen mit den verfügbaren Techniken nicht in der Lage waren, stellare Parallaxe zu beobachten, was bedeutet, dass jede Parallaxe extrem klein sein muss und die Sterne daher weit von der Erde entfernt sind (wir nehmen an, Heliozentrismus) sollte liegen.

Laut Archimedes hatte Aristarch nichts darüber gesagt, wie weit die Sterne von der Erde entfernt waren. Archimedes musste daher selbst eine Vermutung anstellen; er nahm an, dass das Universum kugelförmig ist und dass das Verhältnis des Durchmessers des Universums zum Durchmesser der Erdumlaufbahn um die Sonne gleich dem Verhältnis des Durchmessers der Erdumlaufbahn um die Sonne im Verhältnis zum Durchmesser der Erde ist . Diese Annahme lässt sich auch dadurch ausdrücken, dass die stellare Parallaxe durch die Bewegung der Erde in ihrer Umlaufbahn verursacht wird, entspricht der Sonnenparallaxe, die durch die Bewegung um die Erde verursacht wird.

Um eine obere Schranke zu erhalten, nutzte Archimedes Überschätzungen seiner Daten, indem er Folgendes annahm:

  • Dass die Umfang der Erde ist nicht größer als 300 unzähligeStufen (ungefähr 5 105 km.)
  • Dass die Mond war nicht größer als die Boden, und dass die Sonne war nicht mehr als dreißigmal größer als die Mond.
  • Dass der Winkeldurchmesser der Sonne, von der Erde aus gesehen, größer als 1/200 von a . war rechter Winkel.

Archimedes berechnete schließlich, dass der Durchmesser des Universums unter diesen Annahmen nicht mehr als 10 . beträgt14 Bühnen (in modernen Einheiten ca. 2 Lichtjahre) und dass das Universum nicht größer als 10 . ist63 Sandkörner enthalten können.

Zitat

„Es gibt Leute, König Gelon, die denken, die Zahl der Sandkörner sei unendlich; und mit Sand meine ich nicht nur die Sandkörner in der Nähe von Syrakus und dem Rest Siziliens, sondern auch die Sandkörner, die es können in jeder bewohnten oder unbewohnten Region zu finden ist, gibt es auch einige, die, ohne von einer unendlichen Zahl zu sprechen, der Meinung sind, dass keine einzige Zahl groß genug genannt wurde, um die Anzahl der Sandkörner auszudrücken Anhänger dieses Gedankens stellten sich einen Sandberg vor, so groß wie die Masse der Erde, wo alle Meere und Täler der Erde bis zu den Gipfeln der höchsten Berge mit Sand gefüllt sind, sie wären um ein Vielfaches weiter davon entfernt, die Ferne zu verstehen Zahl ausgedrückt werden, die diese Masse von Sandkörnern überschreitet.

Was ich jedoch versuchen werde, mit Hilfe geometrischer Beweise zu zeigen, die Sie verfolgen können, ist, dass von den Zahlen, die ich in der Arbeit, die ich an Zeuxippus geschickt habe, benannt habe, einige Zahlen, nicht nur die Anzahl der Sandkörner auf der Erde wie oben beschrieben, sondern auch die einer Masse von Sandkörnern, die der Größe des gesamten Universums entspricht."[3]

— Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli

Fußnoten

  1. ↑Archimedes, "Der Sandrechner", von Ilan Vardi
  2. ↑Biographie von Aristarch auf MacTutor
  3. ↑Neumann, James R. - Die Welt der Mathematik (2000) - S.420

Externe Links