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EIN Positionssystem ist ein Zahlensystem in denen a Nummer dargestellt durch eine Reihe von Symbolen, normalerweise Zahlen, deren Position auf einem auserwählten Base bestimmt den Beitrag zur Zahl.

In anderen Zahlensystemen als dem Positionssystem gibt es unterschiedliche Vorzeichen für kleine und große Werte. römische Zahlen sind das bekannteste Beispiel. Die Erfahrung hat gezeigt, dass das Positionssystem in jeder Hinsicht bequemer ist.

Das übliche Zahlensystem hat 10 als Basis. Es besteht kein Zweifel, dass dieses Zahlensystem entstanden ist, weil die Menschen an ihren Fingern zählten. In diesem System hat eine Zahl wie 1234 die Bedeutung: 1×1000 2×100 3×10 4×1. Die Position einer Ziffer bestimmt den Leistungsbeitrag der Basis 10 zur Zahl.

Eine Zahl als Summe von Termen

EIN natürliche ZahlX kann im Dezimalsystem als eine Stelle ausgedrückt werden Polynom im (Kräfte von) einer anderen natürlichen Zahl, der Basis, ein, größer als 1:

${displaystyle x=sum _{i=0}^{k}x_{i}a^{i}=x_{k}a^{k} ldots x_{2}a^{2} x_{1}a^ {1} x_{0}a^{0},}$

in dem die Koeffizienten${displaystyle x_{i}}$natürliche Zahlen sind kleiner als die Basis.

In dem ein-Zahlensystem wird X dann dargestellt durch die Zeile 'Ziffern':

${displaystyle x_{k}ldots x_{2}x_{1}x_{0}}$.

Die Koeffizienten ${Anzeigestil (x_{i})}$ Bilden Sie die Ziffern der Zahl nacheinander. Die meisten linker Flügel Zahl ${displaystyle x_{k}}$ ist der Koeffizient der höchsten Potenz der Basis, und daher ist der die meisten signifikante Ziffer. Die ganz rechte Zahl ${displaystyle x_{0}}$ ist der Koeffizient der Einheiten (die 0-Potenz der Basis), also in diesem Fall der niedrigstwertige Ziffer.

Beispiel

Im 7-Zahlen-System wird die Zahl 1234₁₀ geschrieben als 3412₇, weil:

${displaystyle 1234_{10}=3 Mal 7^{3} 4 Mal 7^{2} 1 Mal 7^{1} 2 Mal 7^{0}}$.

Systematisch untereinander geschrieben:

3 x 7 x 7 x 7 = 3 x 343 = 10294 x 7 x 7 = 4 x 49 = 1961 x 7 = 1 x 7 = 72 = 2 x 1 = 2 ---- 1234 

Diese Rechnung kann kurz geschrieben werden als Horner-Schema:

 7  |  3     4     1     2     |       21   175  1232 -------------------------       3    25   176  1234

wobei die zweite Zeile durch Multiplizieren der Basis 7 mit dem Ergebnis in der dritten Zeile der vorherigen Spalte erzeugt wird, das die Summe der ersten und zweiten Zeile ist.

Die Zahlen lassen sich leicht ermitteln, indem man die Reste nacheinander durch 7 dividiert:

1234 = 176 x 7 2 176 = 25 x 7 1 25 = 3 x 7 4 3 = 0 x 7 3

Die Reste bilden die Ziffern der gesuchten Zahl von unten nach oben.

Bezeichnungen

Jede Zahl, deren Absolutwert größer als 1 kann als Basis für ein Zahlensystem gewählt werden, die gängigsten Zahlensysteme sind jedoch:

• binär, binär, das einfachste System, das von Computern verwendet wird.
• oktal, achtstellig.
• DezimalDecadal, das im bürgerlichen Leben übliche Zahlensystem.
• Duodezimal, zwölf.
• hexadezimal, Sechszehn.
• vigesimal, zwanzig, üblich bei Völkern, die auf allen Vieren zählten.
• sexagesimal, sechzigstelliges System, das bei den Babyloniern verwendet wurde.

Das Hexadezimalsystem und das Oktalsystem werden verwendet von Informatiker manchmal als abgekürzte Notation für das Binärsystem verwendet (siehe unten, unter Kombinierte Zahlensysteme).

Es gibt auch gemischte Zahlensysteme, bei denen die verschiedenen Zahlen unterschiedliche Basen haben.

Notation

Es ist natürlich wichtig zu wissen, mit welchem ​​System eine Zahl geschrieben wird. Das verwendete System wird manchmal durch die Angabe der Basis als tiefgestellter Index angegeben; zum Beispiel 3112₇, also eine Zahl im 7-Zahlen-System. Dieser Index gilt immer als dezimal.

In Programmiersprachen, in denen häufig binäre, oktale und hexadezimale Zahlen verwendet werden, werden verschiedene Notationen verwendet, um das Zahlensystem anzugeben, zum Beispiel ein Buchstabe (X oder huh) vor oder nach einer Hexadezimalzahl. Eine hexadezimale Zahl wird mit den Zahlen 0 bis 9 und den Symbolen ein, B, C, d, E und f. Diese Zeichen in diesem Kontext stellen Zahlen dar, hexadezimale Zahlen, werden aber vom Compiler als Buchstaben erkannt. Da in Programmiersprachen eine Zahl immer mit einer reellen Ziffer beginnen muss, wird ggf. eine Null an den Anfang angehängt. Es kommt auch vor, dass die Null am Anfang ausreicht, um anzuzeigen, dass die Zahl oktal oder hexadezimal ist.

Nicht-Ganzzahlen

Nicht ganzzahlige Zahlen werden mit Zahlen nach dem angezeigt Komma. Die Zahlen nach dem Komma beziehen sich auf negativ Exponenten, siehe das Dezimalbeispiel unten. Einer Zahl zwischen 0 und 1 wird normalerweise eine 0 vorangestellt, zum Beispiel "0,25". Dies ist jedoch in der Regel nicht erforderlich, wenn Zahlen in einen Taschenrechner oder Computer eingegeben und die Zahl in ein Computerprogramm eingegeben wird, es kann auch die kürzere Schreibweise ".25" verwendet werden.

Jede rationale Zahl ${Anzeigestil q}$ kann in der ${Anzeigestil a}$-Zahlensystem werden als a . geschrieben Potenzreihe in absteigender Potenz von ${Anzeigestil a}$:

${displaystyle q=sum _{i=-infty}^{n}x_{i}a^{i},}$

mit ${displaystyle 0leq x_{i}$ und ${displaystyle x_{n}eq 0.}$ Nun kann die Reihe endlich oder unendlich sein.

Einer schreibt:

${displaystyle q=x_{n}x_{n-1}ldots x_{0},x_{-1}x_{-2}ldots }$

Mit ${Anzeigestil a=5}$ ist zum Beispiel:

${displaystyle {frac {326}{125}}={frac {250 75 1}{125}}=2 3 imes { frac {1}{5}} 0 imes { frac {1}{25}} 1 imes { frac {1}{125}}=2{,}301_{5}}$

und

${displaystyle { frac {1}{3}}={ frac {1}{5}} { frac {2}{15}}={ frac {1}{5}} { frac {3}{25}} { frac {1}{75}}={ frac {1}{5}} { frac {3}{25}} { frac {1}{25}}{ frac {1}{3}}=ldots =0{ ,}{Überstrich {13}}_{5}}$

Dezimal Zahlen

Bei diesem Dezimalzähler (zum Beispiel einem Kilometerzähler) hat jedes Rad zehn Positionen. Wenn sich ein Rad von 9 auf 0 dreht, dreht sich das nächste Rad einen Schritt weiter.

Bei einem Hexadezimalzähler dreht sich ein Rad einen Schritt weiter, wenn sich das vorherige Rad von F auf 0 dreht.

Das bekannteste Zahlensystem ist das Dezimalsystem die von fast jedem im Alltag genutzt wird.

157,25 = 100 50 7 0,2 0,05 = 1 × 10² 5 × 10¹ 7 × 10⁰ 2 × 10⁻¹ 5 × 10⁻²

Computer

Beim Speichern von Zahlen in einem Computerspeicher wird ebenfalls das Positionssystem verwendet, allerdings handelt es sich um die logische Position, nicht so sehr um die physikalische Position.

Fast alle zeitgenössisch DigitalComputers arbeiten intern mit dem Binärsystem, dh mit zwei Möglichkeiten für jede Position. Ein Datum im Computer kann daher als Folge von Nullen und Einsen dargestellt werden, also als Zahl aus dem binären Zahlensystem. Für den Menschen ist dies aufgrund der enormen Länge der Reihen von Einsen und Nullen ein besonders überladenes Zahlensystem.

Eine Ziffer im Binärsystem heißt a bisschen, was eine Abkürzung von . ist Binärzahl. (In dem Englisch bedeutet das auch bisschen, was in diesem Fall eine nette Geste ist.)

Zur besseren Übersicht teilen Informatiker die Bitreihe in Dreier- oder Vierergruppen. Eine Binärzahl wie 011010111001 sieht dann wie 011.010.111.001 oder 0110.1011.1001 aus, was das Auffinden der entsprechenden Schreibweise in der Oktal- bzw. Hexadezimalsystem gefunden werden. Dazu wird jede Gruppe durch die entsprechende Nummer ersetzt. Wenn Vierergruppen gebildet werden, ist das Ergebnis hexadezimal System und erfordert 16 verschiedene Ziffern. Die zehn üblichen Zahlen werden um die Buchstaben A bis F erweitert. In diesem Zusammenhang handelt es sich nicht mehr um Buchstaben, sondern um Zahlen. Wenn Dreiergruppen gebildet werden, ist das Ergebnis oktal System und die Zahlen von 0 bis 7 sind ausreichend. Die oben erwähnte Binärzahl sieht wie 3271 in Oktal und 6B9 in Hexadezimal aus. Diese Darstellungen sind für den Menschen viel klarer und fügen sich gut in das binäre Zahlensystem ein.

Beachten Sie, dass das Wort 'Zahl', wie wir es in der Alltagssprache gewohnt sind, hier erweitert wurde. Ein Zeichen, das verwendet wird, um eine Zahl darzustellen, ist eine Zahl. Bei einer hexadezimalen Zahl werden die Zeichen A bis F daher auch Zahlen genannt.

Rechnen im Zahlensystem

Der Mathematikunterricht nutzt die herausfinden (in Spalten setzen)

   2 3   9 6-------   1 1 9

Ein kompliziertes Zusatz wird auf diese Weise um einige grundlegende Ergänzungen vereinfacht. Der Gedankensprung hier ist es ein erinnern wenn eine Basenaddition über dem Base (hier 10) kommt heraus.

Die hier verwendete Schreibweise in Spalten eignet sich hervorragend zum Parsen einer Zahl. So wird 123 in 3×10 . zerlegt⁰, 2×10¹ und 1×10². Es verwendet 10, weil die Zahl eine Dezimalzahl ist.

Summieren, subtrahieren, multiplizieren und Teilen (z.B. mit a lange Division) kann analog mit einer anderen Base als 10 durchgeführt werden.

Ungewöhnliche Schemata

Mathematiker haben mit anderen Zahlensystemen experimentiert. Sie beinhalten:

Negative Basis

Ein Zahlensystem kann sogar a negative Basis haben. Dies erzeugt ein sehr "sprunghaftes" Muster in den "aufeinanderfolgenden" Werten.

Nicht-ganzzahlige Basis

Zahlensysteme müssen auch nicht unbedingt eine ganzzahlige Basis haben. Die Basis kann eine rationale Zahl wie 12,6 oder eine irrationale Zahl wie sein ${Anzeigestil pi}$ oder ${Anzeigestil Varphi }$ (die Zahl der Goldener Schnitt) in dem Zahlensystem mit grundlegendem Goldenen Schnitt. Zum Beispiel wird die Dezimalzahl 28.2 im 12.6er Zahlensystem wie folgt ausgedrückt:

${displaystyle 28{,}2_{10}=2 Minuten 12{,}6^{1} 3 Minuten 12{,}6^{0}=2|3_{12{,}6}}$

In diesem System verwenden wir die Ziffern 0 bis 12, die größte ganze Zahl kleiner als die Basis. Das "|" Trennen Sie die Zahlen hier, um Verwechslungen mit Zahlen größer als 9 zu vermeiden.

Die Darstellung einer Zahl in einem nicht-ganzzahligen System kann eine endliche oder unendliche Anzahl von Stellen haben. Dieselbe Zahl kann in einem gegebenen Zahlensystem auf verschiedene Weise geschrieben werden: im φ-Zahlensystem, zum Beispiel die Zahl ${displaystyle {frac {3 {sqrt {5}}}{2}}=2{,}618ldots}$ geschrieben werden als ${displaystyle 11_{varphi }}$ oder wenn ${displaystyle 100_{varphi }}$ (wegen der Identität ${Displaystil-Varphi ^{2}=Varphi 1}$).

Einige andere Beispiele:

• Im Zahlensystem mit Basis ${Anzeigestil pi}$ hat ein Kreis mit Durchmesser 1_π ein Umfang von 10_π (weil Umfang = Durchmesser × π) und ein Kreis mit Radius 1_π hat eine Fläche von 10_π (weil Fläche = π × Radius²), während ein Kreis mit Radius 10_π hat eine Fläche von 1000_π.

• Das Zahlensystem mit der Basis √2 ist eng mit dem binären Zahlensystem verwandt. Um eine Binärzahl in die Basis √2 umzuwandeln, muss man nur eine 0 zwischen jede Binärziffer setzen; zum Beispiel wird die Dezimalzahl 7 als 111 . dargestellt₂ und wenn 10101_√2; Dezimalzahl 45 wird als 101101 dargestellt₂ und als 10001010001_√2. Dies folgt aus der Beziehung:

${displaystyle 2=({sqrt {2}})^{2}}$,

Verursachen

${Anzeigestil Summe _{k=0}^{n}b_{k}2^{k}=Summe _{k=0}^{n}b_{k}({sqrt {2}})^{2k} }$,

EIN Quadrat mit Seite 10101_√2 hat eine Diagonale der Länge 101010_√2 (weil Diagonale = Seite × √2).

Alternative zu einer Basis (und deren Befugnisse)

Ein weiteres ungewöhnliches System ist das faktorielles System. Dies ist ein gemischtes Zahlensystem.