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In dem Geometrie wird verstanden von Teilungsverhältnis das Verhältnis der Teile, in denen a Liniensegment wird durch einen Punkt geteilt. Wenn ein Segment in zwei Hälften geteilt wird, ist das Teilungsverhältnis 1. Wenn der Punkt ${Anzeigestil T}$ auf dem Liniensegment ${Anzeigestil AB}$ das Teilungsverhältnis ist gleich dem Quotienten der Schnittlängen: ${Anzeigestil |AT|/|TB|}$. Die allgemeine Definition lässt zu, dass der "Split-Punkt" auch außerhalb des Segments auf der Verbindungslinie der Endpunkte liegt. Das Teilungsverhältnis ist invariant unter affine Bilder und parallele Projektionen, aber nicht allgemein unter projektive Bilder. Invariant unter all diesen Bildern ist die aus dem Teilungsverhältnis abgeleitete doppeltes Verhältnis.

Definition

Teilungsverhältnis

für drei kollinear Punkte ${Anzeigestil A,B,T}$ in dem euklidischer Raum heißt die nummer ${ Anzeigestil Lambda }$ wofür:

${displaystyle {vec {AT}}=lambda cdot {vec {TB}}}$,

das Teilungsverhältnis, in dem ${Anzeigestil T}$ das Ehepaar ${Anzeigestil A,B}$ teilt. Das Teilungsverhältnis wird notiert als:

${Anzeigestil Lambda = (ABT)}$ oder ${ Anzeigestil Lambda =(A,!B;!T)}$

Das Teilungsverhältnis kann jede reelle Zahl außer -1 als Wert annehmen. Der Fall ${Anzeigestil (ABT)=0}$ impliziert, dass ${Anzeigestil T=A.}$

Für das Teilungsverhältnis gilt:

• wenn ${Anzeigestil T}$ zwischen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ liegt, ist, ${Anzeigestil (ABT)>0}$. Sie sagen, dass ${Anzeigestil T}$ das Liniensegment ${Anzeigestil AB}$im Inneren Anteile.
• wenn ${Anzeigestil T}$ außerhalb des Liniensegments ${Anzeigestil AB}$ liegt, ist, ${displaystyle(ABT)<0}$. Sie sagen, dass ${Anzeigestil T}$${Anzeigestil AB}$äußerlich Anteile. Lügen ${Anzeigestil T}$ auf der Seite von ${Anzeigestil B}$, dann ist ${displaystyle(ABT)<-1}$; Lügen ${Anzeigestil T}$ auf der Seite von ${Anzeigestil A}$, dann ist ${Anzeigestil -1<(ABT)<0.}$

Vektornotation

Wenn die Punkte ${Anzeigestil A, B}$ und ${Anzeigestil T}$ die (Endpunkte der) Vektoren ${displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} }$ und ${displaystyle mathbf {t} }$ darstellen, ist das Teilungsverhältnis gegeben durch:

${displaystyle mathbf {t} -mathbf {a} =(mathbf {a} ,mathbf {b} ,mathbf {t} )(mathbf {b} -mathbf {t} )}$

Parameter

Wenn der Teilpunkt ${Anzeigestil T}$ wird durch den Parameter bestimmt ${displaystyle t}$ wenn:

${displaystyle {vec {AT}}=tcdot {vec {AB}}}$

folgt das

${displaystyle {vec {TB}}=(1-t)cdot {vec {AB}}}$

so dass das Teilungsverhältnis gegeben ist durch:

${displaystyle (ABT)={frac {t}{1-t}}}$.

Umgekehrt folgt aus dem Teilungsverhältnis ${Anzeigestil Lambda = (ABT)}$ für den Parameter ${Anzeigestil t:}$

${displaystyle t={frac {lambda }{1 lambda }}}$.