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In dem Geometrie ist der doppeltes Verhältnis von vier kollinearPunkte definiert als das Verhältnis von zwei Teilungsverhältnisse. Das doppelte Verhältnis ist unveränderlich unten Zentralprojektion.

Definition

Das doppeltes Verhältnis der vier kollinear Punkte ${Anzeigestil A,B,C}$ und ${Anzeigestil D}$ in dem euklidischer Raum, notiert als ${Anzeigestil (ABCD)}$ oder ${Anzeigestil (A,B;C,D)}$ ist definiert als Quotient der Teilungsverhältnisse ${Anzeigestil (ABC)}$ und ${Anzeigestil (ABD)}$:

${displaystyle (ABCD)={frac {(ABC)}{(ABD)}}}$

wenn ${Anzeigestil p,q,r}$ und ${Anzeigestil s}$ die Koordinaten sind jeweils von ${Anzeigestil A,B,C}$ und ${Anzeigestil D}$ auf der Geraden als Zahlenstrahl wird das doppelte Verhältnis zu:

${displaystyle {frac {(r-p)(q-s)}{(q-r)(s-p)}}}$

Das Doppelverhältnis ist positiv, wenn die Teilpunkte ${Anzeigestil C}$ und ${Anzeigestil D}$ oder beides auf dem Liniensegment ${Anzeigestil AB}$ oder beides außerhalb des Liniensegments ${Anzeigestil AB}$ Lüge. Ist einer der Punkte auf dem Segment? ${Anzeigestil AB}$ und einer außerhalb, dann ist das Doppelverhältnis negativ.

Menschen ändern sich ${Anzeigestil C}$ und ${Anzeigestil D}$ oder ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$, dann ändert sich das doppelte Verhältnis zu seinem umkehren, So

${displaystyle (ABDC)=(BACD)={frac {1}{(ABCD)}}}$

Menschen ändern sich ${Anzeigestil B}$ und ${Anzeigestil C}$, dann bekommt man

${Anzeigestil (ACBD)=1-(ABCD)}$

Vier Punkte auf einer Linie haben also als doppeltes Verhältnis sechs verschiedene Werte, nämlich:

${displaystyle lambda ,quad {frac {1}{lambda }},quad 1-lambda ,quad {frac {1}{1-lambda }},quad {frac {lambda -1}{lambda }}}$ und ${displaystyle {frac {lambda }{lambda -1}}}$

Bei vier gleichmäßig verteilten Punkten erhalten wir beispielsweise 4. Die anderen fünf Werte sind dann 1/4, -3, -1/3, 3/4 und 4/3.

Harmonische Lage

Wenn die Punkte ${Anzeigestil C}$ und ${Anzeigestil D}$ das Liniensegment ${Anzeigestil AB}$ Innen- und Außenteilung jeweils im gleichen Verhältnis, gilt für die Teilungsverhältnisse

${Anzeigestil (ABC)=-(ABD)}$,

also für das doppelte Verhältnis

${Anzeigestil(ABCD)=-1}$

Es wird gesagt, dass die vier Punkte in harmonische Lage sein.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

• Die bestellten vier Punkte ${Anzeigestil (A,B,C,D)}$ ist ein harmonischer Vierer.
• Das doppelte Verhältnis ${Anzeigestil(ABCD)=-1}$.
• Die Punkte ${Anzeigestil C}$ und ${Anzeigestil D}$ liegen harmonisch in Bezug auf die Punkte ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$.
• Der Punkt ${Anzeigestil C}$ ist harmonisch ergänzt oder harmonisch verwandt mit Der Punkt ${Anzeigestil D}$ relativ zu den Punkten ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$.

Beispiele

E, F, G sind Diagonalpunkte,
(EFPQ) = -1

• Von den Winkeln zwischen zwei sich schneidenden Geraden ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ sein ${Anzeigestil c}$ und ${displaystyle d}$ die Bisektoren. die gerade ${Anzeigestil s}$ schneidet die vier Linien ${Anzeigestil a,b,c}$ und ${displaystyle d}$ in aufeinanderfolgenden Punkten ${Anzeigestil A,B,C}$ und ${Anzeigestil D}$. Die Punkte ${Anzeigestil C}$ und ${Anzeigestil D}$ werden dann bezüglich der Punkte harmonisch addiert ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$.
• Eine Gerade durch zwei diagonale Punkte von a volles Viereck schneidet die anderen Seiten in zwei Punkten, die in Bezug auf diese diagonalen Punkte harmonisch sind (siehe nebenstehende Abbildung).
• Die innere und äußere Winkelhalbierende eines Dreiecks schneiden die gegenüberliegende Seite dieses Winkels an Punkten, die harmonisch zu den Scheitelpunkten auf dieser Seite addiert werden.

Eigenschaften

${Anzeigestil (ABCD)=(A'B'C'D')=(abcd)}$

Das doppelte Verhältnis ist invariant unter Zentralprojektion, also wenn ${Anzeigestil ABCD}$ und ${Displaystil A'B'C'D'}$ sind zwei Sätze kollinearer Punkte, und die Linien ${Anzeigestil AA',BB',CC'}$ und ${displaystyle DD'}$Wettbewerber sind, gilt ${Anzeigestil (ABCD)=(A'B'C'D')}$.

Doppeltes Zeilenverhältnis

Aufgrund der Invarianz des Doppelverhältnisses unter Zentralprojektion kann das Doppelverhältnis auch für Wettbewerberkoplanar Rechte. Die Linien schneiden, die durch denselben Punkt verlaufen ${Anzeigestil a,b,c}$ und ${displaystyle d}$ eine gerade ${displaystyle ell}$ an vier nicht zusammenfallenden Punkten ${Anzeigestil A,B,C}$ und ${Anzeigestil D}$, dann ist das doppelte Verhältnis ${displaystyle(abcd)}$ definiert als

${Anzeigestil (abcd) = (ABCD)}$

Alternative Definition

Eine alternative äquivalente Definition für das doppelte Verhältnis von vier Wettbewerber Rechte ist

${displaystyle (abcd)={frac {sin Winkel (a,c)}{sin Winkel (b,c)}}:{frac {sin Winkel (a,d)}{sin Winkel (b,d)}}}$

Harmonischer Vierstrahler

EIN vierstrahlig ist ein geordneter Vierer koplanarer, gleichzeitiger Linien. Ein vierstrahliger ${Anzeigestil (a,b,c,d)}$ heißt harmonisch genau dann, wenn ${displaystyle(abcd)=-1}$. Die folgenden Aussagen sind dann äquivalent:

• Die vier Strahlen ${Anzeigestil (a,b,c,d)}$ ist harmonisch.
• Das doppelte Verhältnis ${displaystyle(abcd)=-1}$.
• Die Linien ${Anzeigestil c}$ und ${displaystyle d}$ liegen harmonisch in Bezug auf die Linien ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$.
• Linie ${displaystyle d}$ wird harmonisch zur Linie hinzugefügt ${Anzeigestil c}$ relativ zu den Linien ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$.

Beispiele

• Zwei sich kreuzende Geraden ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ liegen harmonisch in Bezug auf die Winkelhalbierenden ${Anzeigestil c}$ und ${displaystyle d}$ die Winkel, die sie zueinander bilden.
• Zwei Diagonalen von a volles Viereck werden bezüglich der Seiten durch ihren Schnittpunkt harmonisch addiert
• Das Pollinie von einem Punkt ${Anzeigestil P}$, in Bezug auf die Rechte ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ mit Kreuzung ${Anzeigestil S}$, ist die Linie, die harmonisch zur Linie addiert wird ${displaystyle SP}$ relativ zu den Linien ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$.

Doppelte Übersetzung auf einem Kegelschnitt

doppelte Übersetzung auf einem Kegelschnitt

Man verbindet einen veränderlichen Punkt eines nicht entarteten Kegelschnitt${Anzeigestil K}$ mit vier Fixpunkten von ${Anzeigestil K}$, dann erhält man einen variablen Vierstrahl mit konstantem Doppelverhältnis. Dieses doppelte Verhältnis hängt nur von der Position der vier Punkte auf dem Kegelschnitt ab und wird als doppeltes Verhältnis dieser vier Punkte bezeichnet.

Schneidet man vier feste Tangenten an einen nicht entarteten Kegelschnitt? ${Anzeigestil K}$ mit variabler Tangente an ${Anzeigestil K}$, dann erhält man einen Vierer mit konstantem Doppelverhältnis. Dieses doppelte Verhältnis hängt nur von der Position der vier festen Tangenten ab und wird als das doppelte Verhältnis dieser vier Tangenten bezeichnet.

Auf der Figur sind die Rechte ${Anzeigestil a,b,c}$ und ${displaystyle d}$ feste Tangenten und die Punkte ${Anzeigestil K,L,M}$ und ${Displaystil N}$ Fixpunkte auf dem Kegelschnitt.

Das doppelte Verhältnis ${Anzeigestil (k,l,m,n)}$ ist unabhängig von der Position des Punktes ${Anzeigestil P}$ auf dem Kegelschnitt, also ist das doppelte Verhältnis ${Anzeigestil (K,L,M,N)}$ eindeutig bestimmt. So ist ${Anzeigestil (ABCD)}$ unabhängig von der Position der variablen Tangente ${Anzeigestil s}$ und ist das doppelte Verhältnis ${displaystyle(abcd)}$ der vier festen Tangenten richtig definiert.

Siehe auch

• Harmonische Lage
• Projektive Linie
• Linienperspektive