WikiDer > Diagonalmatrix

In dem Lineare Algebra ist ein diagonale Matrix ein quadratische Matrix, davon alle Elemente außerhalb Hauptdiagonale (↘) gleich Null sein. Die diagonalen Elemente können gleich Null sein oder nicht.

Das ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil D=(d_{i,j})}$ ist eine Diagonalmatrix, wenn für alle ${displaystyle i,jin {1,2,ldots,n}}$:

${displaystyle d_{i,j}=0{mbox{ for }}ieq j}$

Diagonalmatrizen werden vollständig durch die Werte der Elemente auf der Hauptdiagonalen bestimmt. Eine gängige Schreibweise ist

${displaystyle D={m {diag}}(d_{1},d_{2},ldots ,d_{n})={ egin{bmatrix}d_{1}&0&ldots &0/0&d_{2}&ddots &vdots /vdots &ddots &ddots &0/0&ldots &0&d_{n}end{bmatrix}}}$.

Die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen der Diagonalmatrix ${Anzeigestil D}$ wird es sein Spur von ${Anzeigestil D}$ benannt, Symbol: ${Display-Operatorname {Tr} (D)}$, und ist daher definiert als:

${Displaystyle-Operatorname {Tr} (D)=Summe _{i=1}^{n}d_{i}=d_{1} d_{2} ldots d_{n}}$

Beispiel

Der nächste Matrix ist eine Diagonalmatrix:

${displaystyle M={ egin{bmatrix}3&0&0&0/0&1/3&0&0/0&0&-1&0/0&0&0&1/2/end{bmatrix}}}$.

Die Diagonalmatrix wird auch geschrieben als: ${Anzeigestil M={m {diag}}(3.1/3,-1.1/2).}$

Notiere dass der invers und der Leistung einer Diagonalmatrix kann durch die Diagonalelemente bzw. hoch ${Anzeigestil -1}$ und ${displaystyle n}$ nehmen.

Die Umkehrung der obigen Matrix ist dann:

${displaystyle M^{-1}={ egin{bmatrix}1/3&0&0&0/0&3&0&0/0&0&-1&0/0&0&0&2/end{bmatrix}}}$,

und der ${displaystyle n}$-die Macht:

${displaystyle M^{n}={ egin{bmatrix}3^{n}&0&0&0/0&1/3^{n}&0&0/0&0&(-1)^{n}&0/0&0&0&1/2^{n}/end{ bmatrix}}}$.

Das bestimmend einer solchen Matrix kann durch Multiplikation aller Elemente der Diagonalen bestimmt werden. Die Determinante der vorgenannten Matrix ist dann:

${displaystyle {mbox{det}}(M)={ egin{vmatrix}3&0&0&0/0&1/3&0&0/0&0&-1&0/0&0&0&1/2/end{vmatrix}}=3 imes { frac {1}{3}} imes ( -1) imes { frac {1}{2}}=-{ frac {1}{2}}}$.