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Eine quadratische Matrix der Ordnung 4

EIN quadratische Matrix ist ein Matrix die so viele Zeilen wie Spalten enthält. Wenn da ${displaystyle n}$ Reihen, dann gibt es auch ${displaystyle n}$ Spalten, und man spricht von a ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix.

Quadratische Matrizen werden unter anderem verwendet, um lineare Transformationen, wie lineare Verzerrung und Drehung Anzeige. Beispielsweise ${Anzeigestil R}$ ist eine quadratische Matrix mit einer Drehung (Rotationsmatrix) repräsentiert, und ${Anzeigestil v}$ ein Spaltenvektor Ist das das Position von a Punkt in dem Platz zeigt an, dann ist es Produkt${displaystyle Rv}$ ein weiterer Spaltenvektor, der die Position dieses Punktes nach der durchgeführten Drehung beschreibt. wenn ${Anzeigestil v}$ ein Zeilenvektor ist, kann die gleiche Transformation erhalten werden mit ${displaystyle vR^{T}}$ in welchem ${displaystyle R^{T}}$ das transponierte Matrix von ${Anzeigestil R}$ ist.

Hauptdiagonale

sehen Hauptdiagonale für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die Elemente ${displaystyle a_{ii},(i=1,ldots,n)}$ bilde die Hauptdiagonale des ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$. Sie liegen auf der imaginären Linie, die von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke der Matrix verläuft. Im Bild oben von a ${displaystyle 4 imes 4}$-Matrix liegen die Elemente ${displaystyle a_{11}=9, a_{22}=11, a_{33}=4}$ und ${displaystyle a_{44}=10}$ auf der Hauptdiagonalen.

Die Diagonale, die in einer quadratischen Matrix von der oberen rechten Ecke zur unteren linken Ecke verläuft, wird als bezeichnet anti-diagonal oder gegenüberliegende Diagonale erwähnt.

Sondertypen

Name	Beispiel mit ${Anzeigestil n=3}$
Diagonale Matrix	${displaystyle { egin{bmatrix}a_{11}&0&0/0&a_{22}&0/0&0&a_{33}end{bmatrix}}}$
Untere Dreiecksmatrix	${displaystyle { egin{bmatrix}a_{11}&0&0/a_{21}&a_{22}&0/a_{31}&a_{32}&a_{33}end{bmatrix}}}$
Obere Dreiecksmatrix	${displaystyle { egin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}/0&a_{22}&a_{23}/0&0&a_{33}end{bmatrix}}}$

Diagonale Matrix

Wenn alle Elemente der quadratischen Matrix ${Anzeigestil A}$ außer denen auf der Hauptdiagonale sind gleich Null, wird ${Anzeigestil A}$ ein diagonale Matrix erwähnt.

Dreiecksmatrix

Sind alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen gleich Null, spricht man von a unterhalbDreiecksmatrix. Sind alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen gleich Null, spricht man von einem oberhalb eenDreiecksmatrix.

Identitätsmatrix

Das Identitätsmatrix${displaystyle I_{n}}$ der Ordnung ${displaystyle n}$ ist der ${Anzeigestil n imes n}$-Diagonalmatrix, in der alle Elemente auf dem Hauptdiagonale gleich 1 sein:

${displaystyle I_{1}={ egin{bmatrix}1end{bmatrix}},I_{2}={ egin{bmatrix}1&0/0&1end{bmatrix}},cdots ,I_{n}={ egin{bmatrix}1&0&cdots &0 /0&1&cdots &0/vdots &vdots &ddots &vdots /0&0&cdots &1end{bmatrix}}}$

Multiplikation einer Matrix mit der Identitätsmatrix gleicher Ordnung, lassen Sie die Matrix unverändert. Für jedes ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ gilt

${Displaystil A,I_{n}=I_{n}A=A}$

Inverse Matrix

ein Quadrat ${Anzeigestil n imes n}$-Matrix ${Anzeigestil A}$ wird invertierbar oder Nicht-Einzahl genannt, falls es eine Matrix gibt ${Anzeigestil B}$ existiert so, dass

${displaystyle AB=BA=I_{n}}$.^[1]

wenn ${Anzeigestil B}$ existiert, ist diese Matrix einzigartig. Sie nennen sie die inverse Matrix von ${Anzeigestil A}$ und merkt sie als ${Displaystil A^{-1}}$

Das Invertible ${Anzeigestil n imes n}$Matrizen bilden a. mit der Matrizenmultiplikationsoperation Gruppe Mit als Einheitselement die Einheitsmatrix der Ordnung ${Anzeigestil n.}$

Symmetrische und schiefe Matrix

EIN symmetrische Matrix eine quadratische Matrix gleich ihrer transponierten ist; So ${Anzeigestil A}$ ist symmetrisch, wenn:

${Anzeigestil A=A^{T}}$.

EIN verzerrte Matrix eine quadratische Matrix ist, die dem Gegenteil ihrer transponierten entspricht; So ${Anzeigestil A}$ ist schief, wenn:

${Anzeigestil A=-A^{T}}$.

Hermitesche Matrix

In vielen Fällen spielen Hermitesche Matrizen für die komplexen Matrizen eine ähnliche Rolle wie die symmetrischen Matrizen für reelle Matrizen. Eine hermitesche Matrix ist eine quadratische komplexwertige Matrix gleich seiner Zusatz, d.h. zur Transponierten der Matrix mit Elementen de konjugieren Elemente der ursprünglichen Matrix.

Wegen der Spektralsatz sowohl reelle symmetrische Matrizen als auch komplexe hermitesche Matrizen haben a Base von Eigenvektoren, das heißt, jeder Vektor kann ausgedrückt werden als a lineare Kombination von Eigenvektoren. In beiden Fällen sind alle Eigenwerte Real. Dieser Satz kann auf unendlichdimensionale Räume verallgemeinert werden, die sich auf Matrizen mit unendlich vielen Zeilen und Spalten beziehen, siehe Unten.

Verweise