WikiDer > Unterscheidbare Struktur

In dem differentielle Topologie, eine Unterregion der Mathematik, macht ein ${displaystyle n}$-dimensional differenzierbare Struktur auf einen Sammlung${Anzeigestil M}$ diese Sammlung ${Anzeigestil M}$ zu einer ${displaystyle n}$-dimensional differenzierbare Vielfalt, das ist ein topologische Vielfalt mit extra Struktur, die es einem ermöglicht, Differentialrechnung auf der Vielfalt ausgetragen werden. wenn ${Anzeigestil M}$ bereits eine topologische Mannigfaltigkeit ist, muss die neue Topologie mit der bestehenden Topologie identisch sein.

Definition

Für ein natürliche Zahl${displaystyle n}$ und eine beliebige Zahl ${displaystyle k}$ (eine nicht negative ganze Zahl oder unendlich) wird a ${displaystyle n}$-dimensional ${Anzeigestil C^{k}}$ differenzierbare Struktur^[1] definiert durch die Verwendung von a ${Anzeigestil C^{k}}$-Atlas, bestehend aus a Sammlung von Bijektionen existiert, die Karten heißen, zwischen einer Sammlung von Teilmengen von ${Anzeigestil M}$ (von denen die Verband die gesamte ${Anzeigestil M}$ is), und eine Menge offener Teilmengen von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$:

${displaystyle varphi _{i}:Msupset W_{i}ightarrow U_{i}Untermenge mathbb {R} ^{n}}$

Das ${Anzeigestil C^{k}}$-kompatibel ist (im Sinne der nachfolgenden Definition):

Existenz- und Eindeutigkeitssätze

Auf jeder Sorte mit a ${Anzeigestil C^{k}}$-Struktur für ${displaystyle k>0}$, es gibt ein einzigartiges ${Anzeigestil C^{k}}$-kompatibel ${displaystyle C^{infty }}$-Struktur, a Gestell, was dank der amerikanischMathematikerWhitney: Sie sagen, dass ${Anzeigestil C^{k}}$-Strukturen einzigartig glatt machen sein. Außerdem zwei ${Anzeigestil C^{k}}$Strukturen, die äquivalent sind ${displaystyle C^{infty }}$-Strukturen haben, äquivalent zu ${Anzeigestil C^{k}}$Strukturen; es gibt also keinen sinnvollen Unterschied zwischen a ${Anzeigestil C^{k}}$-Struktur (differenzierbare Struktur) und a ${displaystyle C^{infty }}$Textur (glatte Textur). Andererseits gibt es für ${Anzeigestil C^{0}}$topologische Varietäten die keine differenzierbaren Strukturen zulassen, ein Ergebnis, das 1960 deklariert wurde bewährt durch Kervaire^[2], die später im Rahmen der . erklärt wurde Der Satz von Donaldsonson (Vergleich es Hilberts fünftes Problem).

Will man die differenzierbaren Strukturen auf einer Mannigfaltigkeit zählen, so zählt man in der Regel modulo die orientierungserhaltenden Homöomorphismen. Die Frage ist, ob eine gegebene differenzierbare Struktur einen orientierungsumkehrenden Homöomorphismus erlaubt. Für jede Mannigfaltigkeit mit einer Dimension kleiner als 4 existiert nur eine differenzierbare Struktur. Für alle Varietäten mit einer Dimension größer als 4 existiert auf einer kompakten Mannigfaltigkeit a endlich viele differenzierbare Strukturen. Es gibt nur eine differenzierbare Struktur auf ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, ausser wenn ${Anzeigestil n=4}$, dann gibt es unzählig viele differenzierbare Strukturen; eine solche Struktur heißt exotisch ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$.

Fußnoten