WikiDer > Mathematische Struktur
In dem Mathematik sie sagen das a Sammlung ein Struktur wenn zusätzlich zu den mengentheoretischen Konzepten andere Konzepte darauf zutreffen, wie der Abstand zwischen den Elementen einer Menge, die Addition der Elemente oder die Reihenfolge der Elemente.
Eine unvollständige Liste möglicher Strukturen ist: Größen, algebraische Strukturen (Gruppen, Felder, usw.), Topologien, metrische Räume, Geometrie, Absprachen, Äquivalenzbeziehungen und differentielle Strukturen.
Manchmal ist eine Kollektion mit mehr als einer Struktur ausgestattet. Dies ermöglicht es Mathematikern, diese Menge auf verschiedene Weise zu untersuchen. Beispiel: Eine Ordnung induziert eine Topologie. Ein weiteres Beispiel: Wenn eine Menge sowohl eine Topologie als auch eine Gruppe hat und diese beiden Strukturen in irgendeiner Weise miteinander verbunden sind, ist diese Menge a topologische Gruppe.
Bilder zwischen Sätzen, die Strukturen erhalten (so dass Strukturen im Domain werden auf äquivalente Strukturen im . abgebildet codomain) sind in vielen Bereichen der Mathematik von besonderer Bedeutung. Beispiele dafür sind Homomorphismen, die algebraische Strukturen erhalten, Homöomorphismen, die topologische Strukturen erhalten, und Diffeomorphismen, die unterschiedliche Strukturen erhalten.
Beispiel: die reellen Zahlen
Die Sammlung von reale Nummern hat mehrere Standardstrukturen:
- ein Auftrag: von zwei verschiedenen Zahlen ist die eine größer oder kleiner als die anderen.
- algebraische Struktur: es gibt bearbeitet von Multiplikation und summieren machen diese Sammlung a Körper (belgischer Begriff: Feld).
- eine Größe: Intervalle auf der realen Gerade habe eine gewisse Länge, die auf vielen von Teilmengen kann auf die erweitert werden Lebesgue-Größe.
- ein metrisch: zwischen Punkte Es gibt ein Konzept der Distanz.
- ein Topologie: es gibt eine Vorstellung von offene Sammlungen.
Zwischen diesen Standardstrukturen bestehen folgende Verbindungen:
- die Reihenfolge und die Metrik induzieren jeweils Haare Topologie (das gleiche).
- die Bestellung und algebraische Struktur mach es so bestellter Körper.
- die algebraische Struktur und Topologie mach es so Lügengruppe, eine Art von a topologische Gruppe.