WikiDer > Divergenzsatz

In dem Vektoranalyse ist der Divergenzsatz, Satz von Gaußs oder Der Satz von Ostrogradsky eine Formel, die Abweichungen von a Vektorfeld innerhalb einer geschlossenen Fläche bezieht sich auf die Fluss vom Feld nach draußen. Der Divergenzsatz ist ein wichtiges Ergebnis für den mathematischen Hintergrund der Physik, vor allem in der Elektrostatik und Strömungsmechanik.

Intuition

Der intuitive Inhalt ist einfach: Wenn in einem bestimmten Gebiet Wasser fließt und Sie daran interessiert sind, wie viel Wasser aus einer bestimmten Region in dieses Gebiet fließt, müssen Sie alle Quellen in diesem Gebiet addieren und alle Abflüsse davon abziehen Bereich. Der Wasserfluss wird durch ein Vektorfeld dargestellt. Das Vektorfeld repräsentiert beispielsweise die Geschwindigkeit des Wassers an jedem Punkt der Strömung. Das Vektorfeld besteht dann aus zwei Komponenten, die beide eine Funktion der Ortskoordinaten sind. Die Divergenz des Feldes an einem bestimmten Punkt beschreibt die Stärke der Source oder Drain an diesem Ort. Wenn man also die Divergenz des Feldes über das Innere der Region integriert, sollte man das gleiche Ergebnis erhalten, wie wenn man das Vektorfeld entlang der Grenze der Region integriert. Das drückt der Divergenzsatz aus: Der Divergenzsatz ist also ein Erhaltungssatz, der besagt, dass das Gesamtvolumen aller Quellen und Abflüsse, also das Volumenintegral der Divergenz, gleich dem Nettofluss durch die Kanten des Volumens ist.

Formaler Ausdruck

Annehmen V ein kompakt Teilmenge ist von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ (Nun betrachte zum Beispiel den Fall nein=3), und wo die Kante ist .V besteht aus endlich vielen glatten Flächen. wenn ${displaystyle {vec {F}}}$ ist ein stetig differenzierbares Vektorfeld, definiert über der Umgebung von V, Dann haben wir

${displaystyle iiint limit _{V}left(abla cdot {vec {F}}ight)dV=iint limit _{S}{vec {F}}cdot d{vec {S}}}$

wahr so = ∂V die Grenze ist von V, orientiert an nach außen gerichteten Normalen, und ${displaystyle d{vec {S}}}$ ist eine kurze Schreibweise für ${displaystyle {hut {n}}dS}$, die nach außen gerichtete Einheitsnormale des Randes ∂V.

Geschichte

Dieser Satz wurde erstmals eingeführt in 1762 entdeckt von Joseph-Louis Lagrange und später unabhängig wiederentdeckt in 1813 durch Carl Friedrich Gauß, im 1825 durch George Green und in 1831 durch Michail Wassiljewitsch Ostrogradsky, die auch die ersten Beweise lieferte. Daher wurden Variationen des Divergenzsatzes nach ihnen benannt.

Siehe auch

• Satz von Stokes