WikiDer > Satz von Stokes

Für das physikalische Gesetz siehe Stokes' Gesetz

Der Satz von Stokes, angewendet auf eine Fläche ${Anzeigestil Sigma }$ Mit Grenze ${displaystyle partielles Sigma }$ und Ausrichtung der Oberfläche (d. h. Normalenvektor) ${displaystyle mathbf {n} }$

Das Satz von Stokes ist ein mathematischer Satz wer sagt, dass die Schaltungsintegral von dem Skalarprodukt von a Vektorfeld${displaystyle {vec {F}}}$ jetzt sofort winzige Änderung des Platzieren Sie den Vektor${displaystyle mathrm {d} {vec {r}}}$ entspricht dem Flächenintegral des normale Komponenten des Drehung von ${displaystyle {vec {F}}}$.

Der Satz wurde entwickelt von developed George Stokes, ein 19. Jahrhundert Mathematiker zum Universität von Cambridge. Der Satz hat wichtige Anwendungen in der in Flüssigkeitsdynamik und in der Elektromagnetismus (siehe die Maxwells Gesetze).

Gestell

Sie ${displaystyle {vec {F}}}$ ein Vektorfeld und ${Anzeigestil S}$ eine Fläche mit Kante ${displaystyle partielles S}$, dann gilt:

${displaystyle oint _{partial S}{vec {F}}cdot mathrm {d} {vec {r}}=iint _{S}(abla imes {vec {F}})cdot {vec {n}},mathrm {d} S}$

Darin steht:

• ${displaystyle abla imes {vec {F}}}$ die Drehung von ${displaystyle {vec {F}}}$
• ${displaystyle {vec {n}}}$ das Einheitsnormalenvektor an der Oberfläche ${Anzeigestil S}$

Um das richtige Vorzeichen zu erhalten, ist es wichtig, dass die Kante ${displaystyle partielles S}$ hat eine positive Ausrichtung; dies bedeutet, dass die Änderung des Ortsvektors ${displaystyle mathrm {d} {vec {r}}}$ entlang der Kante gegen den Uhrzeigersinn, wenn der Normalenvektor ${displaystyle {vec {n}}}$ an der Oberfläche zum Betrachter hin. Dies entspricht dem rechte hand regel.

Satz von Green

Das Satz von Green Green entspricht dem Spezialfall des Satzes von Stokes, wobei ${displaystyle {vec {F}}}$ nicht von ${Anzeigestil z}$ kommt drauf an und nein ${Anzeigestil z}$eine Komponente hat und/oder ${Anzeigestil S}$ liegt in der xy-Ebene.

Intuitive Präsentation

Das rechte Bild zeigt eine einfache Situation, die das Verständnis des Gesetzes erleichtert. Dieses zweidimensionale Beispiel zeigt, dass das Addieren der vier internen Drehungen dem Addieren der Vektoren entspricht, die sich auf der Kante befinden. Schließlich heben sich die Paare interner Vektoren gegenseitig auf. Was bleibt, sind die Vektoren entlang der Kante.