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Vectorveld

Beispiel für ein Vektorfeld in 2D: [-y,x]

EIN Vektorfeld ist in der Vektoranalyse ein Bild das zu irgendeinem Zeitpunkt in a Euklidischer Raum ein Vektor Links. Man spricht von gebundenen Vektoren, mit Angriffspunkt.

In dem Physik Zum Beispiel werden Vektorfelder verwendet, um die fließen einer Flüssigkeit durch von jedem Punkt in der Strömung die Geschwindigkeit in Größe und Richtung oder von a Magnetfeld oder Schwerkraftfeld durch Angabe von Betrag und Richtung, in der die Leistung Arbeit zu geben.

Definition

Ein Vektorfeld ${displaystyle {vec {F}}}$ ist ein Bild dass an jedem Punkt von a Vektorraum ein Vektor aus diesem Raum.

im dreidimensionalen Raum:

{displaystyle {vec {F}}(x,y,z)=links(F_{x}(x,y,z),F_{y}(x,y,z),F_{z}(x,y ,z)acht)}

in dem nein-dimensionaler euklidischer Raum ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ :

{displaystyle {vec {F}}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=links(F_{1}(x_{1},...,x_{n}) ,F_{2}(x_{1},...,x_{n}),...,F_{n}(x_{1},...,x_{n})ight)}

.

Beispiele

Windrichtung

Schauen wir uns die Verteilung der Windgeschwindigkeit in dem Atmosphäre, dann herrscht an jeder Stelle ein gewisses een Windrichtung und Windgeschwindigkeit. Diese Verteilung ist also ein Vektorfeld von Punkten ${Anzeigestil(x,y,z)}$ in der Atmosphäre gekoppelt Geschwindigkeitsvektoren

{displaystyle {vec {v}}(x,y,z)=links(v_{x}(x,y,z),v_{y}(x,y,z),v_{z}(x,y ,z)acht)}

.

Wenn der Wind nur in eine Richtung weht, sagen Sie die x-Richtung, wie in Ansatz in einem Windkanal, dann das Vektorfeld der Form ${displaystyle(v_{x},0,0)}$

Schwere

auf alle Punkt des Platz ein bestimmter Schwerkraftfeld, gegeben von der Richtung des Schwere (Einfach gesagt Nieder) und eine Größe (die bekannte Feldstärke ${displaystyle g}$ ).

Das Vektorfeld wird dann: ${displaystyle(0,0,-g)}$ . Alle Kräfte habe ein in physik Feld, das in vielen Fällen ein Vektorfeld ist.

Betrieb

Integrieren

Es integrieren eines Vektorfeldes wird in den Gesetzen von verwendet Maxwell, wodurch über a . integriert wird Volumen, oder darüber Oberfläche eines Volumens.

Unterscheiden

Für die anderen Derivate um zu beschreiben, verwendet man oft die nabla-Operator.

Das Richtungsderivate von a Skalarfeld ${Anzeigestil phi}$ ein Vektorfeld bilden, das Gradient des Feldes:

{displaystyle mathrm {grad} ;phi =abla phi =left({frac {partial phi }{partial x}},{frac {partial phi }{partial y}},{frac {partial phi }{partial z}}ight )}

Um die Quellen und Quellen eines Vektorfeldes anzugeben indicate berechnet man die Abweichungen ${displaystyle abla cdot phi }$ des Feldes (die Divergenz ist a Skalar):

{displaystyle mathrm {div} ;phi =abla cdot phi ={frac {partial phi _{x}}{partial x}} {frac {partial phi _{y}}{partial y}} {frac {partial phi _{ z}}{teilweise z}}}

Ob ein Feld Wirbel hat, wird durch die Drehung oder Rotor ${displaystyle abla imes phi }$ des Feldes:

{displaystyle mathrm {rot} ;phi =abla imes phi =left({frac {partial phi _{z}}{partial y}}-{frac {partial phi _{y}}{partial z}},{frac { partielles Phi _{x}}{partielles z}}-{frac {partielles Phi _{z}}{partielles x}},{frac {partielles Phi _{y}}{partielles x}}-{frac {partielles Phi _{x}}{teilweise y}}Nacht)}

Es ist wichtig zu beachten, dass die Schriftform nur in a Kartesisches Koordinatensystem gilt, in einem zylindrischen Koordinatensystem ist die Form anders. Siehe dafür Nabla in verschiedenen Koordinatensystemen.

Gekrümmte Räume

Auch in beliebig gekrümmten Räumen, in Sorten, können wir gebundenen Vektoren eine Bedeutung geben.

Das Differentialgeometrie assoziiert mit jedem Punkt ${displaystyle p}$ einer glatten Sorte ${Anzeigestil M}$ ein Vektorraum ${displaystyle T_{p}M,}$ berührenden Raum namens. Das Verband aller Tangentialräume die . is Tangentenbündel ${Displaystil-TM,}$ und ein Vektorfeld ist a Sektion des Tangentialstrahls, der ein glattes Bild von ${Anzeigestil M}$ zu ${displaystyle TM}$ dass jeder punkt ${displaystyle p}$ auf einem Vektor in ${displaystyle T_{p}M}$ schildert.

Die Differentialoperatoren Gradient, Abweichungen und Drehung einbiegen in bearbeitet in der externen Algebra der Differentialformen von einem zufälligen glatte Sorte. Um jedoch zu behaupten, dass der Gradient eine Operation von Skalaren zu Vektorfeldern und die Divergenz eine Operation von Vektorfeldern zu Skalaren ist, haben wir die zusätzliche Struktur von a metrischer Tensor, das Riemann-Sorte, erforderlich.

Die Rotation, wie oben definiert, hängt auch davon ab, dass wir in einem dreidimensionalen orientierbaren Raum arbeiteten. Im Allgemeinen mit ${displaystyle n}$ Abmessungen und keine Orientierung, betrachten wir den Operator ${Displaystyle-Operatorname {d} }$ in der externen Algebra.

Allgemeiner kann ein Vektorfeld ein Abschnitt eines beliebigen gegebenen . sein Vektorbündel auf dem betrachteten Raum.

Siehe auch

Siehe die Kategorie Vektorfelder von Wikimedia Commons für Mediendateien zu diesem Thema.

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