WikiDer > Алгебра деления

В области математика называется абстрактная алгебра, а алгебра с делением это, грубо говоря, алгебра над полем в котором разделение, кроме нуля, всегда возможно.

Определения

Формально начнем с ненулевой алгебра D через поле. Мы называем D а алгебра с делением если для любого элемента а в D и любой ненулевой элемент б в D существует ровно один элемент Икс в D с а = bx и ровно один элемент у в D такой, что а = yb.

За ассоциативные алгебры, определение можно упростить следующим образом: ненулевая ассоциативная алгебра над полем - это алгебра с делением если и только если он имеет мультипликативный элемент идентичности 1 и каждый ненулевой элемент а имеет мультипликативный обратный (т.е.элемент Икс с топор = ха = 1).

Ассоциативные алгебры с делением

Наиболее известными примерами ассоциативных алгебр с делением являются конечномерные вещественные алгебры (т. Е. Алгебры над полем р из действительные числа, которые являются конечнымиразмерный как векторное пространство над реалами). В Теорема Фробениуса утверждает, что вплоть до изоморфизм таких алгебр три: сами вещественные числа (размерность 1), поле сложные числа (размер 2), а кватернионы (размер 4).

Маленькая теорема Веддерберна заявляет, что если D является алгеброй с конечным делением, то D это конечное поле.^[1]

Более алгебраически замкнутое поле K (например, сложные числа C) не существует конечномерных ассоциативных алгебр с делением, кроме K сам.^[2]

Ассоциативные алгебры с делением не имеют делители нуля. А конечномерный единый ассоциативная алгебра (над любым полем) - алгебра с делением если и только если у него нет делителей нуля.

В любое время А ассоциативный унитальная алгебра над поле F и S это простой модуль над А, то кольцо эндоморфизмов из S является алгеброй с делением над F; каждая ассоциативная алгебра с делением над F возникает таким образом.

В центр ассоциативной алгебры с делением D над полем K это поле, содержащее K. Размерность такой алгебры над ее центром, если она конечна, равна идеальный квадрат: он равен квадрату размерности максимального подполя поля D по центру. Учитывая поле F, то Эквивалентность Брауэра классов простых (содержащих только тривиальные двусторонние идеалы) ассоциативных алгебр с делением, центр которых F и которые конечномерны над F можно превратить в группу, Группа Брауэра поля F.

Один из способов построения конечномерных ассоциативных алгебр с делением над произвольными полями дает кватернионные алгебры (смотрите также кватернионы).

Для бесконечномерных ассоциативных алгебр с делением наиболее важными являются те случаи, когда пространство имеет некоторые разумные топология. См. Например нормированные алгебры с делением и Банаховы алгебры.

Не обязательно ассоциативные алгебры с делением

Если алгебра с делением не считается ассоциативной, обычно используется более слабое условие (например, альтернативность или же ассоциативность власти) вместо этого. Видеть алгебра над полем список таких условий.

Над вещественными числами имеется (с точностью до изоморфизма) только два унитарных коммутативный конечномерные алгебры с делением: сами действительные числа и комплексные числа. Конечно, оба они ассоциативны. В качестве неассоциативного примера рассмотрим комплексные числа с умножением, определенным путем взятия комплексно сопряженный обычного умножения:

${ displaystyle a * b = { overline {ab}}.}$

Этот является коммутативной неассоциативной алгеброй с делением размерности 2 над вещественными числами и не имеет единичного элемента. Существует бесконечно много других неизоморфных коммутативных, неассоциативных, конечномерных вещественных алгебр с делением, но все они имеют размерность 2.

Фактически, любая конечномерная вещественная коммутативная алгебра с делением либо 1-, либо 2-мерна. Это известно как Хопфа Теорема, и была доказана в 1940 году. Доказательство использует методы из топология. Хотя более позднее доказательство было найдено с использованием алгебраическая геометрия, нет прямого алгебраического доказательства. В основная теорема алгебры является следствием теоремы Хопфа.

Отказавшись от требования коммутативности, Хопф обобщил свой результат: любая конечномерная вещественная алгебра с делением должна иметь размерность, равную степени 2.

Более поздние исследования показали, что на самом деле любая конечномерная вещественная алгебра с делением должна иметь размерность 1, 2, 4 или 8. Это было независимо доказано Мишель Кервер и Джон Милнор в 1958 г., снова используя технику алгебраическая топология, особенно K-теория. Адольф Гурвиц показал в 1898 г., что личность ${ displaystyle q { overline {q}} = { text {сумма квадратов}}}$ проводится только для размеров 1, 2, 4 и 8.^[3] (Видеть Теорема Гурвица.) Задача построения трехмерной алгебры с делением решалась несколькими ранними математиками. Кеннет О. Мэй исследовал эти попытки в 1966 году.^[4]

Любая вещественная конечномерная алгебра с делением над вещественными числами должна быть

• изоморфен р или же C если унитарный и коммутативный (эквивалентно: ассоциативный и коммутативный)
• изоморфен кватернионам, если некоммутативен, но ассоциативен
• изоморфен октонионы если неассоциативный, но альтернатива.

О размерности конечномерной алгебры с делением известно следующее: А над полем K:

• тусклый А = 1, если K является алгебраически замкнутый,
• тусклый А = 1, 2, 4 или 8, если K является действительно закрыто, и
• Если K не является ни алгебраически, ни вещественно замкнутым, то существует бесконечно много измерений, в которых существуют алгебры с делением над K.

Смотрите также

• Нормированная алгебра с делением
• Дивизион (математика)
• Дивизионное кольцо
• Полуполе
• Конструкция Кэли-Диксона

Примечания

Рекомендации

• Кон, Пол Мориц (2003). Базовая алгебра: группы, кольца и поля. Лондон: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-0-85729-428-9. ISBN 978-1-85233-587-8. МИСТЕР 1935285.
• Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец. Тексты для выпускников по математике. 131 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.

внешняя ссылка

• "Алгебра деления", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]