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Driehoekscentrum

mag ich Center ein besonderer punkt ist in a Kreis und ein Quadrat, so ist a Dreieckszentrum oder merkwürdiger Punkt eines Dreiecks ein Punkt in a Dreieck mit einem besonderen Geometer Eigentum. Beispiele für Dreieckszentren sind die Markieren, es Schwerpunkt und die Zentren der umschriebener Kreis und der eingeschriebener Kreis. Neben diesen bereits in der Antike bekannten Punkten sind heute mehr als 10.000 Dreieckszentren bekannt. Die Dreieckszentren hängen nur von der Scheitelpunkte des Dreiecks und unveränderlich unten Koordinatentransformationen. Das bedeutet, dass die dreiecksgebundenen Koordinaten eines Dreieckszentrums besondere Bedingungen erfüllen.

Definition

Ein Dreiecksmittelpunkt eines Dreiecks mit Seitenlängen ein, b und c ist ein Punkt, dessen baryzentrische Koordinaten, oder der trilineare Koordinaten, kann geschrieben werden als f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b), mit f eine Funktion, die erfüllt:

  • f(x,y,z) = f(x,z,y)
  • ∀λ>0: f(λx,λy,λz) = λr f(x,y,z).

Übrigens bestimmt jede Funktion mit den obigen Eigenschaften einen Dreiecksmittelpunkt, obwohl mehrere solcher Funktionen denselben Dreiecksmittelpunkt bestimmen können.

Oft wird nur die erste der trilinearen oder baryzentrischen Koordinaten eines Dreieckszentrums angegeben. Dies ist ausreichend, denn aus der Definition folgt, dass die anderen beiden Koordinaten durch zyklischen Austausch der Seiten ein, b und c bestimmt werden kann.

Nicht alle speziellen Punkte in einem Dreieck sind Dreieckszentren, die Punkte von Brocard reichen beispielsweise nicht aus. Die Funktionen, die die Koordinaten dieser Punkte beschreiben, erfüllen die erste Anforderung nicht.

Kimberling-Nummer

Diese Beschreibung geht zurück auf Oene Bottema,[1] aber Bottema war mit dieser Beschreibung nicht zufrieden, weil sie impliziert, dass, wenn zwei Punkte neugierig sind, alle Punkte auf ihrer Verbindungslinie auch neugierig sind. Clark Kimberling, ein amerikanischer Mathematiker, führte dennoch die Definition ein,[2] und benutzte es, um schließlich eine Enzyklopädie von Dreieckszentren zu konsultieren, das Online Enzyklopädie der Dreieckszentren,[3] etwas anziehen. Er hat alle Dreieckszentren darin nummeriert und in a . gelegt Liste der Kimberling-Songs erstellt. Er wurde vielfach nachgeahmt.

Beispiele

  • Die drei ersten Dreiecksmittelpunkte eines Dreiecks: der Mittelpunkt des umschriebener Kreis, der Schwerpunkt und der Scheitelpunkt von fluchten, auf der Eulers Gerade.
  • Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises, in der Enzyklopädie mit bezeichnet X(1), hat trilineare Koordinaten (1:1:1) und baryzentrische Koordinaten (ABC). Für die trilineare gilt: f≡1 und für den baryzentrischen f(x,y,z)=x.
  • Der Schwerpunkt, bezeichnet mit X(2), hat trilineare Koordinaten (1/a:1/b:1/c)=(bc:ac:ab) und baryzentrische Koordinaten (1:1:1). Für die trilineare gilt: f(x,y,z)=1/x oder f(x,y,z)=yz und für den baryzentrischen f≡1.