WikiDer > Invariante (Mathematik)

Invariant (wiskunde)

In dem Mathematik ist eine Eigenschaft von a mathematisches Objektunveränderlich wenn sich diese Eigenschaft nicht ändert, wenn das Objekt Transformationen irgendeines Typs durchläuft. Eine solche invariante Eigenschaft wird auch als a . bezeichnet unveränderlich (des Objekts).^[1] Die spezifische Klasse von Objekten und die Art der Transformationen werden normalerweise durch den Kontext angegeben, in dem der Begriff verwendet wird. Die Fläche von a Dreieck ist zum Beispiel eine Invariante bezüglich with Isometrien von dem euklidische Ebene. Die Ausdrücke "invariant under" und "invariant before" einer Transformation werden beide verwendet. Allgemeiner gesagt, eine Invariante bezüglich a Äquivalenzrelation eine Eigenschaft, die für alle konstant ist Äquivalenzklasse.

Insbesondere kann ein mathematisches Objekt selbst gegenüber Transformationen irgendeiner Art invariant sein.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel für eine Invariante ist die Differenz zwischen zwei Zahlen aus einer Zahlenfolge, die sich nicht ändert, indem zu allen Zahlen in der Folge dieselbe Zahl addiert wird. Symmetrie ist ein Begriff, der Invarianz in Bezug auf eine bestimmte Menge von Transformationen bezeichnet, normalerweise in der Geometrie.

Andere Beispiele sind:

ein reelle Zahl ist invariant unter der komplex konjugiert; die Zahl ist das Objekt; seine invariante Eigenschaft ist die Zahl selbst
die Dimension eines Objekts in a topologischer Raum ist invariant unter Homöomorphismen
der euklidische Abstand zwischen zwei Punkten ist invariant unter senkrecht Transformationen; das Objekt ist ein Punktpaar; seine invariante Eigenschaft ist der Abstand zwischen den beiden Punkten
das bestimmend und der Spur von a quadratische Matrix sind invariant bei Änderungen von Base; das Objekt ist eine lineare bijektive Abbildung des n-dimensionalen Raums auf sich selbst; die Determinante und die Spur der quadratischen Matrix, die die Karte auf einer gegebenen Basis darstellt, sind zwei invariante Eigenschaften

Zeitinvariante

EIN dynamisches System ${Anzeigestil S}$ die bei jedem Eingangssignal ein Ausgangssignal erzeugt, ist zeitinvariant, wenn sich das Ausgangssignal bei zeitlicher Verschiebung des Eingangssignals entsprechend verschiebt:

{Anzeigestil S(D^{ au}(f))=D^{ au}(S(f))}

wahr ${displaystyle D^{ au }}$ der Schichtführer

{Anzeigestil D^{au}S(t)=S(t-au)}

ist.

Invariante Theorie

Das Thema der Invariante Theorie besteht aus Polynome und rationale Funktionen im ${displaystyle n}$ veränderbar, mit Koeffizienten in einem Körper ${Anzeigestil K}$ , und die unter der Wirkung von a . unverändert bleiben Untergruppe der Transformationsgruppe ${Anzeigestil GL(n,K)}$ , die Gruppe der invertierbaren Quadrate ${Anzeigestil n imes n}$ Matrizen mit Elementen in einem Körper ${Anzeigestil K}$ zusammen mit der Matrixmultiplikation.