WikiDer > Пространство Эйленберга – Маклейна

Eilenberg–MacLane space

В математика, и алгебраическая топология в частности, Пространство Эйленберга – Маклейна[примечание 1] это топологическое пространство с одним нетривиальным гомотопическая группа. По сути, пространство Эйленберга – Маклейна представляет собой особый вид топологическое пространство это можно рассматривать как строительный блок для теория гомотопии; общие топологические пространства могут быть построены из них с помощью Система Постникова. Эти пространства важны во многих контекстах в алгебраическая топология, в том числе построение пространств, вычисление гомотопические группы сфер и определение когомологические операции. Имя для Сэмюэл Эйленберг и Saunders Mac Lane, который ввел такие пространства в конце 1940-х гг.

Позволять грамм быть группой и п положительное целое число. Связное топологическое пространство Икс называется пространством Эйленберга – Маклейна типа , если есть п-го гомотопическая группа изоморфен грамм а все остальные гомотопические группы тривиальны. Если тогда грамм должно быть абелевым. Такое пространство существует, это CW-комплекс, и уникальна с точностью до слабая гомотопическая эквивалентность. Из-за злоупотребления языком любое такое пространство часто называют просто .

Обобщенное пространство Эйленберга – Маклейна - это пространство, которое имеет гомотопический тип произведения пространств Эйленберга – Маклейна..

Примеры

  • В единичный круг это .
  • Бесконечномерный сложное проективное пространство это модель . Его кольцо когомологий является , а именно свободное кольцо многочленов на одном двумерном образующем в степени 2. Генератор можно представить в когомологии де Рама посредством Фубини – Этюд 2-форма. Применение описывается как абстрактная чушь.
  • Бесконечномерный реальное проективное пространство это .
  • В сумма клина из k единичные круги это за то свободная группа на k генераторы.
  • Дополнение к любому узлу в трехмерной сфере относится к типу ; это называется "асферичность узлов », и является теоремой 1957 г. Христос Папакириакопулос.[1]
  • Любой компактный, связанный, неположительно изогнутый многообразие M это , куда фундаментальная группа M.
  • Бесконечный пространство объектива дается частным это . Это можно показать, используя длинную точную последовательность на гомотопических группах для расслоения поскольку потому что бесконечная сфера стягиваемый.[2] Обратите внимание, что это включает как .

Из них можно построить еще несколько элементарных примеров, используя тот факт, что продукт является .

А можно построить поэтапно, как CW комплекс, начиная с клин из п-сферы, по одному на каждый генератор группы грамм, и добавление ячеек в (возможно, бесконечное количество) более высоких измерений, чтобы уничтожить всю лишнюю гомотопию. Соответствующий цепной комплекс задается Переписка Дольда – Кана.

Замечание о построении высших пространств Эйленберга-Маклейна

Существует несколько методов построения высших пространств Эйленберга-Маклейна. Один из них - построить Пространство Мура для абелевой группы и итеративно убивают высшие гомотопические группы поскольку нижние гомотопические группы все тривиально. Это следует из Теорема Гуревича.

Еще один полезный прием - сначала построить для каждой группы используя симплициальные методы,[3] а затем построить высшие пространства Эйленберга-Маклана, используя гомотопические кофеволокна. Обратите внимание, что для неабелевых ,

поскольку все высшие гомотопические группы абелевы. Высшие группы могут быть построены с помощью потому что мы можем рекурсивно использовать гомотопический кофайбер расслоение

строить , задающую последовательность расслоений

которые можно использовать для изучения когомологий из с использованием Спектральная последовательность Лере. Это было использовано Жан-Пьер Серр пока он изучал гомотопические группы сфер с помощью Система Постникова и спектральные последовательности.

Еще один прием - использовать геометрическую реализацию симплициальные абелевы группы.[4] Это дает явное представление симплициальных абелевых групп, которые представляют пространства Эйленберга-Маклейна. Другая симплициальная конструкция в терминах классификация пространств и универсальные пакеты, приводится в Дж. Питер Мэйкнига.[5]

Свойства пространств Эйленберга – Маклейна

Биекция между гомотопическими классами отображений и когомологий

Важное свойство такова, что для любой абелевой группы грамм, и любой CW-комплекс Икс, набор

гомотопических классов отображений из Икс к находится в естественной биекции с п-го особые когомологии группа

пространства Икс. Так говорят, что находятся представляющие пространства для когомологий с коэффициентами в грамм. С

есть выдающийся элемент соответствующий тождеству. Вышеупомянутая биекция дается откатом этого элемента - . Это похоже на Лемма Йонеды из теория категорий.

Другая версия этого результата, предложенная Питером Дж. Хубером, устанавливает биекцию с п-го Группа когомологий Чеха когда Икс является Хаусдорф и паракомпакт и грамм счетно, или когда Икс Хаусдорф, паракомпактный и компактно генерируемый и грамм произвольно. Еще один результат Киити Морита устанавливает взаимное соответствие с п-го числовая группа когомологий Чеха для произвольного топологического пространства Икс и грамм произвольная абелева группа.

Пространства петель

В пространство петли пространства Эйленберга – Маклейна также является пространством Эйленберга – Маклейна: . Из этого свойства следует, что пространства Эйленберга – Маклейна с различными п для мужчин омега-спектр, называемый спектром Эйленберга – Маклейна. Этот спектр соответствует стандартной теории гомологий и когомологий.

Функциональность

Это следует из теорема об универсальном коэффициенте для когомологий пространство Эйленберга-Маклейна является квази-функтор группы; то есть для каждого положительного целого числа если - любой гомоморфизм абелевых групп, то существует непустое множество

удовлетворение куда обозначает гомотопический класс непрерывного отображения и

Связь с Постниковской башней

Каждый CW-комплекс обладает Постникова башня, т. е. гомотопически эквивалентно повторному расслоению, слои которого являются пространствами Эйленберга – Маклейна.

Когомологические операции

Группы когомологий пространств Эйленберга – Маклейна можно использовать для классификации всех когомологические операции.

Приложения

Описанная выше конструкция петлевого пространства используется в теория струн для получения, например, группа строк, то группа Fivebrane и так далее, как Башня Уайтхед возникающая из короткой точной последовательности

с то группа строк, и то вращательная группа. Актуальность заключается в том, что существуют гомотопические эквивалентности

для классификация пространства , и факт . Обратите внимание: поскольку комплексная спиновая группа является расширением группы

группу String можно рассматривать как «высшее» расширение сложной спиновой группы в смысле теория высших групп поскольку пространство является примером более высокой группы. Можно представить себе топологическую реализацию группоид чей объект - единственная точка, а морфизмы - группа . Благодаря этим гомотопическим свойствам конструкция обобщает: любое заданное пространство может использоваться для запуска короткой точной последовательности, которая убивает гомотопическую группу в топологическая группа.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Saunders Mac Lane первоначально написал свое имя «Маклейн» (без пробела) и соавтором статей, устанавливающих понятие пространств Эйленберга-Маклейна под этим именем. (См., Например, Г-Н13312) В этом контексте принято писать имя без пробела.
  1. ^ (Папакириакопулос 1957 г.)
  2. ^ "общая топология - единичная сфера в $ mathbb {R} ^ infty $ стягиваема?". Обмен стеками математики. Получено 2020-09-01.
  3. ^ Инь, Си. «О пространствах Эйленберга-Маклейна» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала от 21 августа 2018 г.
  4. ^ "gt.geometric topology - Явные конструкции K (G, 2)?". MathOverflow. Получено 2020-10-28.
  5. ^ Мэй, Дж. Питер. Краткий курс алгебраической топологии (PDF). Глава 16, раздел 5: Издательство Чикагского университета.CS1 maint: location (ссылка на сайт)

Рекомендации

Основные статьи

Картанский семинар и приложения

Картановский семинар содержит множество фундаментальных результатов о пространствах Эйленберга-Маклейна, включая их гомологии и когомологии, а также Приложения для вычисления гомотопических групп сфер.

Приложения

Другие энциклопедические ссылки