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In dem numerische Mathematik einbiegen in Derivate durch endliche Differenzen angenähert, und dies mit einer Genauigkeit von mehreren Größenordnungen. Ein endlicher Unterschied kann zentral, nach vorne oder rückwärts sein. Finite Differenzen werden auch in den numerischen Lösungsverfahren für partielle Differentialgleichungen, wie Linienmethode und der Kurbel-Nicholson-Methode.

Allgemeines Prinzip

Durch mehrere aufeinanderfolgende äquidistante diskrete Punkte ${Anzeigestil (x_{k},f_{k})}$ wird ein Polynom berechnet, die dann in einem der verwendeten Netzpunkte abgeleitet wird. Das Ergebnis hängt nur von den Funktionswerten ab ${displaystyle f_{k}}$ und die Schrittweite h zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gitterpunkten. Mit zentralen Unterschieden, die Derivat im mittleren (zentralen) Punkt, und die verwendeten Polynom von geradem Grad sein, da eine ungerade Anzahl von Punkten verwendet werden muss. Bei Vorwärts- und Rückwärtsdifferenzen wird die Ableitung an einem der Extrempunkte gebildet und der Grad der Polynom gerade oder ungerade sein. Der Grad des verwendeten Polynoms muss mindestens so groß sein wie die Ordnung der zu approximierenden Ableitung. Mit drei Punkten, also mit a Polynom vom Grad 2 kann man daher die erste und die zweite Ableitung approximieren. Eine Ableitung der Ordnung drei oder höher ist nicht möglich, da die dritte Ableitung eines Polynoms zweiten Grades Null ist.

Beispiel für Zentraldifferentiale

In diesem Beispiel ist a Polynom vom Grad 2, um drei Punkte mit den Nummern -1, 0 und 1. Der zentrale Punkt, an dem die Derivat angefahren wird, hat daher den Index 0. Der Schritt auf der x-Achse ist h. Das Polynom vom Grad zwei durch die drei Punkte ${Anzeigestil (x_{-1}=-h,f_{-1})}$, ${Anzeigestil (x_{0}=0,f_{0})}$ und ${displaystyle (x_{1}=h,f_{1})}$ ist dann:

${displaystyle p(x)={frac {f_{-1}-2f_{0} f_{1}}{2h^{2}}}x^{2}, {frac {f_{1}-f_{- 1}}{2h}}x, ,f_{0}}$

Indem wir dies herleiten und dann x = 0 nehmen, erhalten wir die zentrale Differenz:

${displaystyle f'(x_{0}),=,{frac {f_{1}-f_{-1}}{2h}}, ,O(h^{2})}$

Die Größe des Fehlers ist dabei proportional zum Quadrat der Schrittweite, wie durch die klassische O-Notation angezeigt. Dies ist das Richtigkeit in den folgenden Tabellen angegeben.

Wenn man zweimal herleitet, ist der zentrale Unterschied:

${displaystyle f''(x_{0}),=,{frac {f_{-1}-2f_{0} f_{1}}{h^{2}}}, ,O(h^{2}) }$

Beispiel für Vorwärtsdifferential

Die Punkte werden nun mit den Indizes 0, 1 und 2 nummeriert, was die Ableitungen im ersten Punkt approximiert. Der Nettopunkt, an dem auf das Derivat zugegriffen wird, hat also wieder 0 als Index. Die Vorwärtsdifferenz erster Ordnung nutzt die folgenden zwei Punkte und ist dann:

${displaystyle f'(x_{0}),=,{frac {-3f_{0} 4f_{1}-f_{2}}{2h}}, ,O(h^{2})}$

Dies wurde so von der Parabel durch die Punkte bestimmt werden ${Anzeigestil (x_{0}=0,f_{0})}$, ${displaystyle (x_{1}=h,f_{1})}$ und ${Anzeigestil (x_{2}=2h,f_{2})}$, und werte dann seine Ableitung bei x = 0 aus.

Rückwärtsdifferential

Die Koeffizienten der Rückwärtsdifferentiale erhält man, indem man die Reihe der Koeffizienten der entsprechenden Vorwärtsdifferentiale rückwärts nimmt und sie alle ändert:

${displaystyle f'(x_{0}),=,{frac {f_{-2}-4f_{-1} 3f_{0}}{2h}}, ,O(h^{2})}$

Diese Beispiele basieren alle auf einem 2. Grad Polynom, aber eine höhere Genauigkeit erhält man, wenn man von Polynomen mit höherem Grad ausgeht. In jedem Fall muss die Differenz zwischen dem Grad des verwendeten Polynoms mindestens gleich der Ordnung des Näherungswerts Derivat.

Tabelle der zentralen endlichen Differenzen

Diese Tabelle enthält die Koeffizienten für zentrale Differenzen für verschiedene Genauigkeitsgrade. Der Nenner ist immer eine Potenz von h, wobei die Potenz gleich der Ordnung der zu approximierenden Ableitung ist.

Beispiel: Die Ableitung dritter Ordnung mit Genauigkeitsordnung 2 ist:

${displaystyle displaystyle f'''(x_{0})=displaystyle {frac {-{frac {1}{2}}f(x_{-2}) f(x_{-1})-f(x_{1 }) {frac {1}{2}}f(x_{2})}{h^{3}}} Oleft(h^{2}ight).}$

Tabelle der finiten Differenzen vorwärts und rückwärts

Diese Tabelle enthält die Koeffizienten für Vorwärtsdifferentiale für verschiedene Genauigkeitsordnungen. Die Koeffizienten der Rückwärtsdifferenzen erhält man durch Lesen der Tabelle von rechts nach links, und im Fall von a seltsam Ableitung, um das Vorzeichen aller Koeffizienten zu ändern. Der Nenner ist immer eine Potenz von h, wobei die Potenz gleich der Ordnung der zu approximierenden Ableitung ist.

Beispiel: Die Ableitung erster Ordnung mit Genauigkeitsordnung 3 ist:

${displaystyle displaystyle f'(x_{0})=displaystyle {frac {-{frac {11}{6}}f(x_{0}) 3f(x_{1})-{frac {3}{2}} f(x_{2}) {frac {1}{3}}f(x_{3})}{h}} Oleft(h^{3}ight),}$

und die entsprechende Rückwärtsdifferenz ist

${displaystyle displaystyle f'(x_{0})=displaystyle {frac {{frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1}) {frac {3}{2}} f(x_{-2})-{frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h}} Oleft(h^{3}ight).}$

Externe Links

• Finite Differenzen und spektrale Methoden für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen^{[toter Link]}
• Generierung von Finite-Differenzen-Formeln auf Gittern mit beliebigen Abständen
• endliche Unterschiede^{[toter Link]}

Quellen

• Lloyd N. Trefethen, Finite Differenzen und spektrale Methoden für gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen. Cornell-Universität, 1996.
• Dieser Artikel oder eine frühere Version ist eine (Teil-)Übersetzung des Artikels endlicher Differenzkoeffizient auf der englischsprachigen Wikipedia, die unter der Creative Commons Namensnennung/Weitergabe unter gleichen Bedingungen Stürze. Siehe die Verlauf bearbeiten Dort.