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Das Linienmethode ist eine numerische Methode zum Auffinden einer Parabel partielle Differentialgleichung, oder eine Reihe gekoppelter parabolischer partieller Differentialgleichungen zu lösen. Die Raumkoordinaten werden diskretisiert mittels endliche Unterschiede was zu einem System von gekoppelten gewöhnliche Differentialgleichungen dass mit den bekannten numerischen Methoden wie dem Runge-Kutta-Methoden, gelöst werden kann. Als Anfangsbedingungen muss die Lösung ${Anzeigestil t=0}$ gegeben sind, und als Randbedingungen die Werte an jeder der Raumkanten.

Allgemeines Prinzip

Die Beschreibung in diesem Abschnitt bezieht sich auf zwei räumliche Dimensionen. Die Fälle von einer oder drei Raumdimensionen lassen sich auf einfache Weise finden, indem man die y-Abhängigkeit aufhebt oder eine dritte z-Abhängigkeit hinzufügt partielle Differentialgleichung in zwei Raumdimensionen hat die Standardform:

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}=k,left({frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}} {frac {partial ^{2}u}{partial y ^{2}}}Nacht)}$

Diese Gleichung ist auch als bekannt Diffusionsgleichung oder die Gleichung für Wärmetransport.In der Zeilenmethode (auf Englisch Methode der Linien) werden die Raumachsen zu einer Ansammlung von Netzpunkten diskretisiert, gekennzeichnet durch eine Schrittweite h, die in beiden Dimensionen gleich angenommen wird, wie dies in der Praxis üblicherweise der Fall ist:

${Anzeigestil (x_{i},y_{j})}$

mit

${displaystyle x_{i}=icdot h,quad (i=0,ldots,N)}$

und

${displaystyle y_{j}=jcdot h,quad (j=0,ldots,M)}$

Durch die Verwendung dieser Gitterpunkte wird die Derivate diskretisiert werden, mit endliche Unterschiede. Eine Ableitung zweiter Ordnung wird in die zentrale endliche Differenz

${displaystyle {frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}(t,x_{i})ungefähr {frac {u(t,x_{i-1})-2u(t,x_ {i}) u(t,x_{i 1})}{h^{2}}}}$

Auf die Diffusionsgleichung mit zwei räumlichen Dimensionen angewendet, ergibt sich daraus:

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}ungefähr k,{frac {u(t,x_{i-1},y_{j}) u(t,x_{i},y_{j-1} )-4u(t,x_{i},y_{j}) u(t,x_{i},y_{j 1}) u(t,x_{i 1},y_{j})}{h^ {2}}}}$

oder kürzer:

${displaystyle {frac {partial u_{i,j}}{partial t}}={frac {k}{h^{2}}}(u_{i-1,j} u_{i,j-1}- 4u_{i,j} u_{i 1,j} u_{i,j 1})}$

bei welchem ${displaystyle u_{i,j}}$ gibt den zeitlichen Verlauf der unbekannten Funktion an ${displaystyle u}$, in dem durch die Indizes bestimmten Nettopunkt ${Anzeigestil i}$ und ${Anzeigestil j}$.

Auf diese Weise wird in jedem Gitterpunkt ${Anzeigestil (i, j)}$ ein gewöhnliche Differentialgleichung, die mit vier benachbarten Differentialgleichungen (zwei pro Raumdimension) verknüpft ist. Bei Vorliegen der notwendigen Ausgangs- und Voraussetzungen (siehe unten) enthält das System insgesamt ${Anzeigestil (N-1) Bilder (M-1)}$ verknüpfte gewöhnliche Differentialgleichung. Diese können dann mit den für diese Art von Gleichungen verfügbaren Methoden numerisch gelöst werden, wie z Runge-Kutta-Methode. Eine Single partielle Differentialgleichung wird damit in eine große Zahl gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt.

Ausgangs- und Voraussetzungen

wenn ausgangsbedingung sollte der Wert von sein ${Anzeigestil u(t,x,y)}$ in jedem Rasterpunkt anzugeben. Die erforderliche Anfangsbedingung für die gewöhnliche Differentialgleichung in Nettopunkt ${Anzeigestil (i, j)}$ ist deshalb:

${Anzeigestil u_{ij}(0)=u(0,,ih,,jh)}$

Darüber hinaus ist die notwendige Bedingungen bekommen. Diese können verschiedene Formen annehmen.

• Bei der sogenannten dirichletRandbedingungen wird einfach der gewünschte Wert der Unbekannten ${Anzeigestil u(t,x,y)}$ an einem Rand des Integrationsbereichs gegeben.
• Biene Von NeumannRandbedingungen wird eine Bedingung für das Verhalten der Ableitung von ${Anzeigestil u(t,x,y)}$ am Rand des Integrationsbereichs. Normalerweise ist dies die Voraussetzung, dass die partielle Ableitung senkrecht zur Kante ist Null. Dies entspricht physikalisch einer undurchdringlichen Kante.

Bei größeren räumlichen Abmessungen ist darauf zu achten, dass sich die Randbedingungen an den Ecken nicht widersprechen. Außerdem müssen die Voraussetzungen zum Startzeitpunkt auch ${Anzeigestil t=0}$ ständig den Anfangsbedingungen entsprechen.

Zeit- und Raumschritt

Der Zeitschritt und der räumliche Schritt können nicht getrennt gewählt werden. Um die Stabilität zu erhalten, sollte der Zeitschritt kleiner gewählt werden als eine bestimmte Grenze, die durch den räumlichen Schritt und den Diffusionskoeffizienten bestimmt wird ${displaystyle k}$:

${displaystyle mathrm {d} t<{frac {h^{2}}{2k}}}$

Beispiel mit einer räumlichen Dimension

Lösung des im Artikel beschriebenen 1-dimensionalen Problems. Die Auswirkungen der beiden unterschiedlichen Randbedingungen sind zu sehen: rechts (${Anzeigestil x=0}$) die Dirichlet-Bedingung, die die Temperatur dort immer auf Null hält, links (${Anzeigestil x=100}$) die Von-Neumann-Bedingung, die eine undurchlässige Wand durch eine räumliche Ableitung von Null darstellt

Problem

Das Diffusionsgleichung beschreibt beispielsweise in einer räumlichen Dimension die Temperatur in einem dünnen Stab der Länge ${Anzeigestil L}$:

${displaystyle {frac {partial u}{partial t}}=k,{frac {partial ^{2}u}{partial x^{2}}}}$

Die Anfangsbedingung ist beispielsweise:

${Anzeigestil u(0,x)=1-cos(2pi x/L)}$

Dies ist eine gewöhnliche Sinuswelle, die in beginnt ${Anzeigestil x=0}$, erreichte sein Maximum in ${Anzeigestil x=L/2}$ und wieder wird null in ${Anzeigestil x=L}$.

Als Voraussetzung kann man zum Beispiel ${Anzeigestil x=0}$ erfordern als Dirichlet-Bedingung, dass die Temperatur dort zu jeder Zeit Null ist, und in ${Anzeigestil x=L}$ als Von-Neumann-Randbedingung, dass der Wärmefluss durch den Randpunkt ${Anzeigestil x=L}$ ist null. Also jeweils:

${Anzeigestil u(t,0)=0}$

${displaystyle {frac {mathrm {d} u}{mathrm {d} x}}(t,L)=0}$

All dies beschreibt das Problem nun auf einzigartige Weise.

Lösung durch die Linienmethode

Um die Raumkoordinate diskret zu machen, muss die Länge des Segments ${Anzeigestil [0,,L]}$ aufgeteilt werden in ${Displaystil N}$ Intervalle mit Länge ${Anzeigestil h=L/N}$. So werden die Nettopunkte gebildet:

${displaystyle x_{i}=icdot h}$

bei welchem

${displaystyle x_{0}=0}$

${displaystyle x_{N}=L}$

Das Diffusionsgleichung ist also mit dem einfachsten endliche Unterschiede für die zweite Ableitung:

${displaystyle {frac {partial u_{i}}{partial t}}={frac {k}{h^{2}}}(u_{i-1}-2u_{i} u_{i 1})}$

Diese Beziehung gilt für den Index ${displaystyle i=1,ldots,N-1}$, während die Werte ${Anzeigestil i=0}$ und ${Anzeigestil i=N}$ sind durch die Randbedingungen gegeben. Das partielle Differentialgleichung wird somit umgewandelt in ${Anzeigestil N-1}$ gekoppelte gewöhnliche Differentialgleichungen. Jeder Differentialgleichung an die den beiden benachbarten Gitterpunkten zugeordneten Differentialgleichungen oder an eine Randbedingung und die Differentialgleichung des benachbarten Gitterpunktes gekoppelt ist.

Für die Ausgangsbedingungen gilt insbesondere:

${displaystyle u(0,x_{i})=sin(pi x_{i}/L)}$

Und zu den Voraussetzungen:

• der Wert ${Anzeigestil u(0)}$ ist wegen der dort auferlegten Dirichlet-Bedingung überall Null. Also in diesem Fall:

${displaystyle u_{0}=0}$

• der Wert ${Anzeigestil u(N)}$ wird durch die von-Neumaan-Bedingung bestimmt und kann aus der rückwärts gerichteten endlichen Differenz zweiter Ordnung der ersten Ableitung abgeleitet werden. Jederzeit ${displaystyle t}$ kann die Ableitung an der Stelle sein ${displaystyle x_{N}=L}$ werden durch die Funktionswerte in diesem Punkt und in den beiden vorherigen Netzpunkten mit Index angenähert ${Anzeigestil N-1}$ und ${Anzeigestil N-2}$. Indem wir diese endliche Differenz gleich Null setzen, finden wir:

${displaystyle u_{N}={frac {4u_{N-1}-u_{N-2}}{3}}}$

Eine andere häufig verwendete und elegante Lösung, um eine von Neumann-Bedingung einzubauen, bei der die Ableitung an der Kante Null ist, besteht darin, einen zusätzlichen Netzpunkt hinzuzufügen ${Displaystil N1}$, also außerhalb des zu berechnenden Intervalls. Der Funktionswert in diesem zusätzlichen Netzpunkt wird dann gleich dem Funktionswert des vorletzten Netzpunkts angenommen:

${Anzeigestil u_{N 1}=u_{N-1}}$

Da in Raumrichtung eine Dreipunkt-Finite-Differenz verwendet wird, bedeutet dies, dass die Derivat am Rand ${Displaystil N}$ wird automatisch Null. EIN Parabel durch drei äquidistante Punkte, von denen die beiden äußeren den gleichen Funktionswert haben, hat seinen Scheitel im Mittelpunkt und im Scheitel des Parabel ist der Derivat Null. Dieses Prinzip des zusätzlichen Nettopunktes kann auch angewendet werden, wenn ein Fluss ungleich 0 durch die Wand benötigt wird.

${displaystyle u_{N 1}=u_{N-1} 2gh}$

bei welchem ${displaystyle g}$ ist der ausgehende(!) Fluss durch die Kante, und ${displaystyle h}$ die räumliche Schrittweite.

Das ${Anzeigestil N-1}$ gekoppelte gewöhnliche Differentialgleichungen werden dann numerisch gelöst und jederzeit ${displaystyle t}$ die entsprechenden Werte in den beiden Endpunkten des räumlichen Intervalls werden aus den Randbedingungen abgeleitet. Dies sollte auch unterwegs während der Ausführung der numerischen Schritte erfolgen, als eine andere Methode als die einfachste Methode Eulers Methode wird eingesetzt. Das wird auch Runge-Kutta-Methode unter Verwendung von vier Schätzungen der Derivat unterwegs, und damit auch die Grenzwerte von ${Anzeigestil u(t,x)}$ muss jedes Mal neu bestimmt werden.

System partieller Differentialgleichungen

Die Methode kann auch auf Systeme gekoppelter . angewendet werden partielle Differentialgleichungen. Die Anzahl der gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen nimmt dann proportional zu. Ein Beispiel dafür finden Sie im Artikel über TDR-Vergleiche. In dem dort besprochenen Modell neben Diffusion ebenfalls Taxen vor dem.

Verweise

• W. Hunsdorfer, J.G. Verwer (2007)Numerische Lösung zeitabhängiger Advektions-Diffusions-Reaktionsgleichungen, Springer, ISBN 978-3-540-03440-7

Externe Links

• (und) S. Hamdi, W. E. Schiesser, G. W. Griffiths, (2007) Methode der Linien, Scholarpedia, siehe hier
• (und) W.E.Schiesser, (2000) Partielle Differentialgleichungen, [1]