WikiDer > Erlangs B-Formel

In dem Warteschlangentheorie und der Telefonie ist Erlangs B-Formel ein Ausdruck, der die Wahrscheinlichkeit angibt, dass alle Leitungen in einem System besetzt sind und ein Anruf daher abgewiesen werden muss. Es wird davon ausgegangen, dass es keinen Wartebereich für Anrufe gibt, die nicht sofort bearbeitet werden können und diese Anrufe daher verloren gehen. Die Formel ist nach ihrem Urheber benannt Agner Krarup Erlang.

Formel

Für ein Wartesystem mit ${displaystyle m}$ Betriebsstationen und Ankünfte und Operationen nach a Giftprozess, mit Ankunftsintensität ${ Anzeigestil Lambda }$ (durchschnittliche Anzahl der Ankünfte pro Zeiteinheit) und Bearbeitungsintensität processing ${Anzeigestil mu}$, die Chance wird ${displaystyle p_{m}}$ dass alle Bedienstationen (oder Leitungen) besetzt sind, gegeben durch:

${displaystyle p_{m}={frac {{frac {1}{m!}}left({frac {lambda }{mu }}ight)^{m}}{sum _{n=0}^{m} {frac {1}{n!}}links({frac {lambda }{mu }}ight)^{n}}}}$

Da die Wahrscheinlichkeit nur von der Verkehrsintensität abhängt ${displaystyle a=lambda /mu}$ die Formel kann auch geschrieben werden als:

${displaystyle p_{m}={frac {{frac {1}{m!}}a^{m}}{sum _{n=0}^{m}{frac {1}{n!}}a^ {n}}}}$

Der Parameter ${Anzeigestil a}$ wird ausgedrückt in erlang.

sehen Warteschlangentheorie für eine genauere Erklärung der Definition dieser Parameter

Umleitung

Das bei der Definition der Formel verwendete Warteschlangensystem ist a ${displaystyle mathrm {M|M|m|m} }$System, das anzeigt, dass der Ankunftsprozess a Giftprozess Gibt es ${displaystyle m}$ Äquivalent exponentiell Diener und es gibt maximal ${displaystyle m}$ Kunden im System. Das System ist ein Beispiel für a Warteschlangensystem bei Geburt und Tod.

Das System kann in ${displaystyle m}$ Kunden so viele wie es Bedienstete gibt. Somit wird jeder Kunde bedient, aber wenn alle Server ausgelastet sind, werden weitere Kunden abgewiesen. Eingelassene Kunden haben somit sofort Zugang zu einer Bedienstation.

Die Geburts- und Sterbeintensitäten des BD-Prozesses sind gegeben durch:

${displaystyle lambda _{k}={ egin{cases}lambda ,& 0leq kleq m/0,& kgeq reparieren{cases}}}$

${displaystyle mu _{k}=kmu , kgeq 1}$

Mit einem begleitenden Zustandsdiagramm:

Zustandsdiagramm von a ${displaystyle mathrm {M|M|m|m} }$-Warteschlangensystem

Die Gleichgewichtsbedingung durch eine Fläche zwischen zwei Zuständen ergibt dann:

${displaystyle lambda p_{k-1}=kmu p_{k}, 1leq kleq m}$

Es folgt sofort

${displaystyle p_{k}={frac {lambda }{kmu }}p_{k-1}, 1leq kleq m}$,

So

${displaystyle p_{k}=left({frac {lambda }{mu}}ight)^{k}{frac {1}{k!}}p_{0}, 0leq kleq m}$

Der Wert von folgt aus der Standardbedingung ${displaystyle p_{0}}$:

${displaystyle p_{0}={frac {1}{sum _{n=0}^{m}{frac {1}{n!}}left({frac {lambda }{mu }}ight)^{n }}}}$

Damit ist die Gleichgewichtsverteilung für die Anzahl der Kunden im System gleich

${displaystyle p_{k}={frac {{frac {1}{k!}}left({frac {lambda }{mu }}ight)^{k}}{sum _{n=0}^{m} {frac {1}{n!}}links({frac {lambda }{mu}}ight)^{n}}}, 0leq kleq m}$

Diese Verteilung ist a abgeschnittene Giftverteilungson. Als Spezialfall dieser letzten Formel ${displaystyle p_{m}}$ die Wahrscheinlichkeit, dass alle Server beschäftigt sind, was nur die B-Formel von Erlang ist, wie sie zuvor angegeben wurde.