WikiDer > Poisson-Prozess

In dem stochastisch ist ein Giftprozess ein Zählvorgang mit unabhängigen Wucherungen, die Gift verteilt so sein, dass die Parameterverhältnismäßig ist mit der Länge des Zeitintervalls. Die Proportionalitätskonstante wird zu Intensität den Vorgang genannt. Der Begriff Poisson-Prozess stammt von der zugrunde liegenden Poisson-Verteilung, benannt nach dem französischen Mathematiker ma Simeon Poisson, der selbst Poisson-Prozesse nie studiert hat.

Definition

Es stochastischer Prozess${displaystyle N_{t}}$, in kontinuierlicher Zeit ${displaystyle t}$, heißt a Giftprozess mit Intensität${Anzeigestil Lambda >0}$ wenn es erfüllt:

1. ${displaystyle N_{t}(omega)in Mathbb {N}}$
2. ${Displaystil N_{0}(omega )=0}$
3. ${displaystyle N_{t}}$ ist Poisson-verteilt mit Parameter ${Anzeigestil Lambda t}$
4. für alle ${displaystyle n}$ und alles ${displaystyle t_{0}$ sind die Wucherungen ${displaystyle N_{t_{1}}-N_{t_{0}}, N_{t_{2}}-N_{t_{1}},ldots , N_{t_{n}}-N_{t_{n- 1}}}$ voneinander unabhängig

Eigenschaften

Aus den Anforderungen 3 und 4 folgt, dass für alle ${displaystyle s$ das Fouling ${displaystyle N_{t}-N_{s}}$ Poisson wird mit Parameter verteilt ${Anzeigestil Lambda (t-s)}$.

Das erwarteter Wert ist: ${Display-Operatorname {E} N_{t}=lambda t}$.

Das Abweichung ist: ${displaystyle-Operatorname {var} (N_{t})=lambda t}$.

Das Kovarianz vor dem ${displaystyle s$ ist: ${Displaystyle-Betreibername {cov} (N_{s},N_{t})=Betreibername {cov} (N_{s},N_{s} N_{t}-N_{s})=Betreibername {var} (N_{ s})=Lambda s}$.

Das Korrelation wird für ${displaystyle s$ gegeben durch den Koeffizienten: ${displaystyle ho (N_{s},N_{t})={frac {Operatorname {cov} (N_{s},N_{t})}{sigma (N_{s})sigma (N_{t})} }={sqrt {frac {s}{t}}}}$.

Ein Poisson-Prozess mit Intensität ${ Anzeigestil Lambda }$ ist ein Geburts- und Sterbeprozess ohne Tod, also mit ${displaystyle mu_{i}=0}$ für alle ${Anzeigestil i}$ und eine konstante Geburtsintensität ${Displaystil Lambda _{i}=Lambda}$. Die Geburten im Intervall ${displaystyle(s,t]}$ bekommen die Nummer ${Displaystil N_{t}-N_{s}=n}$gleichmäßig verteilt auf dem Intervall. Für die Zeit ${displaystyle T_{n}}$ des ${displaystyle n}$- die Geburt gilt:

${Anzeigestil P(T_{n}leq t)=P(N_{t}geq n)}$

Für die Zeit zwischen zwei Geburten ist die Zwischenankunftszeit, dann folgt:

${Anzeigestil P(T_{n 1}-T_{n}leq v)=P(N_{v}geq 1)=1-P(N_{v}=0)=1-e^{-lambda v}}$

Die zwischenzeitliche Ankunftszeit ist also exponentiell verteilt mit Parameter ${ Anzeigestil Lambda }$.