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Exponentialverteilung
Zufallsdichte
Verteilungsfunktion
Parameter	${Anzeigestil Lambda >0,}$ Verhältnis von inverse Skala (Real)
Träger	${ Anzeigestil xin [0;infty )}$
Zufallsdichte	${Anzeigestil Lambda e^{-Lambda x}}$
Verteilungsfunktion	${displaystyle 1-e^{-lambda x}}$
Erwartungswert	${Anzeigestil Lambda ^{-1},}$
Median	${displaystyle ln(2)/lambda ,}$
Modus	${Anzeigestil 0,}$
Abweichung	${Anzeigestil Lambda ^{-2},}$
verzerren	${Anzeigestil 2,}$
Kurtosis	${Anzeigestil 6,}$
Entropie	${displaystyle 1-ln(lambda),}$
momentan Erzeugungsfunktion	${displaystyle left(1-{frac {t}{lambda}}ight)^{-1},}$
Charakteristische Funktion	${displaystyle left(1-{frac {it}{lambda}}ight)^{-1},}$
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In dem Wahrscheinlichkeit und der Statistik ist der Exponentialverteilung eine kontinuierliche Verteilung. Die Exponentialverteilungen werden häufig verwendet, um die Zeit zwischen zwei Ereignissen zu modellieren, die mit einer konstanten Durchschnittsrate auftreten. Die Exponentialverteilung ist ein Sonderfall der Gammaverteilung.

Definition

Das Wahrscheinlichkeitsdichte${displaystyle f}$ einer Exponentialverteilung ist gegeben durch:

${displaystyle f(x;lambda)=left{{ egin{matrix}lambda e^{-lambda x}&,;xgeq 0,/0&,;x<0.end{matrix}}ight.}$

wahr ${Anzeigestil Lambda >0}$ ist der Parameter der Verteilung, der oft a Geschwindigkeitsparameter oder Intensitätsparameter ist. Die Verteilung erfolgt durch das Intervall [0,∞). Die Verteilung wird wegen des negativen Exponenten auch als negative Exponentialverteilung bezeichnet. Es ist das kontinuierliche Analogon des geometrische Verteilung.

Das Verteilungsfunktion wird gegeben von

${displaystyle F(x;lambda)=left{{ egin{matrix}1-e^{-lambda x}&,;xgeq 0,/0&,;x<0.end{matrix}}ight.}$

Alternativer Parameter

Anstelle des obigen Parameters ${ Anzeigestil Lambda }$, wird auch als Parameter bezeichnet ${displaystyle mu =1/lambda }$ benutzt. Das Wahrscheinlichkeitsdichte hat dann die form:

${displaystyle f(x;mu )=left{{ egin{matrix}{frac {1}{mu }}e^{-x/mu }&,;xgeq 0,/0&,;x<0.end{matrix }}Nacht.}$

Der Parameter ${displaystyle mu >0}$ ist der umkehren der oben genannten Geschwindigkeitsparameter${ Anzeigestil Lambda }$, und setzt a Lebensdauerparameter vor dem. Wie ein zufällige Variable${Anzeigestil X}$ stellt die Lebensdauer eines biologischen oder mechanischen Systems dar und ${Anzeigestil X}$ ist exponentiell verteilt mit Parameter ${Anzeigestil mu}$, dann ist ${Anzeigestil E(X)=mu}$, also ist die erwartete Lebensdauer des Systems ${Anzeigestil mu}$ Zeiteinheiten.

Gedächtnislosigkeit

Die Exponentialverteilung hat die bemerkenswerte Eigenschaft Amnesie. wenn ${Anzeigestil X}$ hat eine exponentiell verteilte Lebensdauer, die Überlebenschancen für ${Anzeigestil x>0}$ gegeben von:

${Anzeigestil P(X>x)=e^{-lambda x}}$.

Wir leiten das jetzt einfach für ${Anzeigestil x,y>0}$ gilt:

${displaystyle P(X>xy|X>x)={frac {P(X>xy)}{P(X>x)}}={frac {e^{-lambda (xy)}}{e^{ -Lambda x}}}=e^{-Lambda y}=P(X>y)}$.

Dabei folgt der erste Schritt aus der Beobachtung, dass das Ereignis ${displaystyle {X>xy}}$ ist Teil der Veranstaltung ${Displaystil {X>x}}$; mit anderen Worten: wenn ${Anzeigestil X>xy}$, ist auch natürlich ${Anzeigestil X>x}$.