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Es Mathematiker Verstehen Filter wird in der Topologie verwendet zu de Konvergenz von Reihen zu verallgemeinern. Im metrische Räume die topologische Struktur ist durch die konvergenten Folgen vollständig festgelegt (eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle sind Grenzen eigenen Zeilen), aber allgemeiner ausgedrückt topologische Räume das stimmt nicht mehr.

Neben Filtern, Netze verwendet werden, um Konvergenz in allgemeinen topologischen Räumen zu untersuchen.

Definition

Sie ${Anzeigestil X}$ eine Sammlung. EIN Filter ein ${Anzeigestil X}$ ist eine Familie ${displaystyle {mathcal {F}}}$ von Teilmengen von ${Anzeigestil X}$ das die folgenden vier Bedingungen erfüllt:

1. ${displaystyle {mathcal {F}}eq emptyset }$ (nicht leer)
2. ${displaystyle {mathcal {F}}eq {mathcal {P}}(X)}$ (wirklich, das heißt nicht alle Teilmengen)
3. ${displaystyle V,Win {mathcal {F}}impliziert Vcap Win {mathcal {F}}}$ (geschlossen unter endlich Überschneidung)
4. ${displaystyle Vin {mathcal {F}}land Vsubset Wsubset Ximplies Win {mathcal {F}}}$

Angesichts der vierten Bedingung entspricht die zweite Bedingung der Forderung, dass ${displaystyle emptyset otin {mathcal {F}}.}$

Beispiele

Sie ${Anzeigestil A}$ eine nicht leere Teilmenge von ${Anzeigestil X}$. Die Familie ${displaystyle {mathcal {F}}=left{Bsubset X|Asubset Bight}}$ ist ein Filter an ${Anzeigestil X}$.

Sie ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum und ${displaystyle xinX}$. Es Umgebungsfilter von ${Anzeigestil x}$ ist die Kollektion ${displaystyle {mathcal {V}}_{x}}$ von allen Umgebungen von ${Anzeigestil x}$:

${displaystyle {mathcal {V}}_{x}=left{Asubset X|exists Uin {mathcal {T}}:xin Usubset Aight}}$

Verwandte Definitionen Definition

Sein ${Anzeigestil X}$ eine Sammlung. EIN Filterbasis auf ${Anzeigestil X}$ ist eine Familie ${displaystyle {mathcal {B}}}$ die die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. ${displaystyle {mathcal {B}}eq emptyset }$
2. ${displaystyle {mathcal {B}}eq {mathcal {P}}(X)}$
3. ${displaystyle V,Win {mathcal {B}}impliziert, dass Uin {mathcal {B}}:Usubset Vcap W} existiert$

Das Wort 'Basis' findet seine Berechtigung darin, dass eine Filterbasis eindeutig zu einem Filter erweitert werden kann. Zu diesem Zweck, ${displaystyle {mathcal {B}}}$ mit allen Teilmengen vervollständigt, die ein Element von element enthalten ${displaystyle {mathcal {B}}}$ einschließen.

${displaystyle {mathcal {F}}:=left{Vsubset X|exists Uin {mathcal {B}}:Usubset Vight}}$.

Das nennt man Filter erzeugt von ${displaystyle {mathcal {B}}}$.

EIN Unterbau für einen Filter auf ${Anzeigestil X}$ ist eine nicht leere Familie ${displaystyle {mathcal {S}}}$ von Teilmengen von ${Anzeigestil X}$ mit der Eigenschaft, dass eine endliche Anzahl von ihnen immer einen nichtleeren Schnitt hat.^[1] Die Menge endlicher Schnittpunkte einer Unterbasis ist eine Filterbasis, genannt de Filterbasis erzeugt von${displaystyle {mathcal {S}}.}$

EIN Ultrafilter ist ein maximaler Filter, d. h. ein Filter, der nicht in einem größeren Filter enthalten ist ${Anzeigestil X}$.

Sie ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ ein topologischer Raum. Ein Filter ${displaystyle {mathcal {F}}}$ auf ${Anzeigestil X}$konvergiert zu ${displaystyle xinX}$ wenn ${displaystyle {mathcal {F}}}$ der Umgebungsfilter ${displaystyle {mathcal {V}}_{x}}$ von ${Anzeigestil x}$ beinhaltet. Das Limit" ${Anzeigestil x}$ muss nicht eindeutig sein: Die Eindeutigkeit der Filtergrenzen entspricht der Trennungsaxiom von Hausdorff.

Bezug zur topologischen Struktur

Umgebungsfilter eines Elements ${displaystyle xinX}$ ist eindeutig festgelegt als Querschnitt aller Filter, die zu . gehen ${Anzeigestil x}$ konvergieren. Das Konzept des "konvergenten Filters" bestimmt somit vollständig die topologische Struktur von ${Anzeigestil X}$.

Ein Bild ${Anzeigestil f:X oder Y}$ zwischen zwei Sets, jedes Filterbild ${displaystyle {mathcal {F}}}$ von ${Anzeigestil X}$ auf Filterbasis von ${Anzeigestil Y}$. Der resultierende Filter von ${Anzeigestil Y}$ wir stellen fest ${displaystyle f({mathcal {F}})}$.

Ein Bild ${Anzeigestil f:X oder Y}$ zwischen zwei topologischen Räumen ist kontinuierlich im ${Anzeigestil xin X}$ wenn und nur, wenn sie jeden Filter verwenden, der zu geht ${Anzeigestil x}$ konvergiert, wird auf einen Filter abgebildet, der auf zeigt ${Anzeigestil f(x)}$ konvergiert.

Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jedes Ultrafilter konvergiert. Dies entspricht der Anforderung, dass jeder Filter zu einem konvergenten Filter erweitert werden kann.

Beziehung zu konvergenten Zeilen

Mit jeder Reihe ${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }}$ in einem topologischen Raum ${displaystyle (X,{mathcal {T}})}$ Wir verbinden die Filterbasis, die aus den Enden der Zeile besteht:

${displaystyle {mathcal {B}}:=left{{x_{n},x_{n 1},ldots}|nin mathbb {N} ight}}$

Der von dieser Base erzeugte Filter heißt von der Zeile erzeugter elementarer Filter generated${displaystyle (x_{n})_{nin mathbb {N} }.}$ Es besteht aus allen Teilmengen von ${Anzeigestil X}$ die alle Elemente der Folge enthalten, außer möglicherweise einer endlichen Zahl.^[1]

Die Folge konvergiert gegen einen Punkt ${displaystyle xinX}$ genau dann, wenn der Filter von ${displaystyle {mathcal {B}}}$ die Umgebungen von ${Anzeigestil x}$ enthält. Dies rechtfertigt die Definition des Begriffs "konvergenter Filter".