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In dem Topologie, eine Filiale der Mathematik, ist ein gerade eine Struktur, mit der das Konzept von Konvergenz der Zeilen wird verallgemeinert in topologische Räume. Der Begriff gerade wurde 1922 erfunden von E. H. Moore und H. L. Smith. Nach ihnen benannt sind die Konzepte Moore-Smith-Konvergenz und das synonym Moore-Smithrij Für nur.

Definitionen

EIN gezielte Sammlung^[1][2][3] ist nicht leer Sammlungd ausgestattet mit a binäre Beziehung ≥ das die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:

(ein) Transitivität: wenn m, nein und p Elemente sind von d so dass mn und np, dann auch m≥p;

(b) Reflexivität: wenn ich ist ein Element von D, dann ist mm;

(c) wenn ich und nein Elemente sind von D, dann gibt es ein Element p von d so dass p≥m und Schmerzen.

Das dritte Merkmal besagt, dass jedes Paar von Elementen von d hat eine gemeinsame Obergrenze.

EIN gerade^[1][2][3] ist ein Bild

${displaystyle S:(D,geq) o (X,{mathcal {T}})}$

von einer gerichteten Menge in einen topologischen Raum.

Ein Netz sokonvergiert^[1][2][3] bis zu einem Punkt X Raum X wie für alle UmfeldV von X ein Element ich von d existiert damit für alle nm zählt das so(nein) im V Lügen. Leute rufen X ein Grenze von s. In allgemeinen topologischen Räumen kann ein Netz mehr als einen Grenzwert haben.

Beispiele

Beispiele für gezielte Sammlungen

Für jede nicht leere Sammlung d macht das volle Beziehung${displaystyle Dimes D}$ (kartesisches Produkt) eine gezielte Sammlung von D.

Das identisches Bild${displaystyle {(d,d)|din D}}$ bestimmt nie eine gerichtete Menge, wenn d hat mindestens zwei verschiedene Elemente, da diese beiden Elemente keine gemeinsame obere Grenze haben.

jeder Gesamtbestellung bestimmt eine gerichtete Menge, da von jedem Paar von Elementen eines der beiden das größte ist.

Das wichtigste Beispiel einer gerichteten Menge ist ein Spezialfall davon, nämlich: die totale Ordnungsrelation ≥ (größer als oder gleich wie) über die Sammlung der natürliche Zahlen.

Sie X jedes Element eines topologischen Raums X. Die Sammlung ${displaystyle {mathcal {F}}_{x}}$ von allen Umgebungen von X ist eine gerichtete Menge bezüglich der Relation "ist ein Teil von", weil die because Überschneidung eines Paares von Umgebungen von X ist wieder eine Umgebung von X die eine Teilmenge der beiden ursprünglichen Umgebungen ist. Auf die gleiche Weise ist jeder Umweltbasis von X eine gezielte Sammlung.^[2]

Beispiele für Netze und Konvergenz

Netze auf der Menge der natürlichen Zahlen entsprechen unendlichen Reihen in topologischen Räumen; Ein Bild ${displaystyle S:mathbb {N} oder X}$ ist dasselbe wie eine unendliche Reihe ${displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},ldots)}$ von Elementen von X. Ein solches Netz ist genau konvergent (bis zu einem Grenzwert X) falls die entsprechende unendliche Folge zu X konvergiert im üblichen Sinne. In einem allgemeinen topologischen Raum kann eine Folge (und damit auch ein Netz) gleichzeitig gegen verschiedene Grenzen konvergieren, aber in Hausdorff-Räume jeder hat nur höchstens eine Grenze.

Sie X ein Element eines topologischen Raums X und sie ${displaystyle S:{mathcal {F}}_{x} oder X}$ ein Bild, das zu jeder Umgebung von . passt X ein Element dieser Umgebung Assoziiert. Dann konvergiert so zu X, denn für jede Umgebung V von X Gibt es ein Element von ${displaystyle {mathcal {F}}_{x}}$ (nämlich V selbst), so dass alle 'größeren' Elemente von ${displaystyle {mathcal {F}}_{x}}$ (eigentlich: alle Unterumgebungen von V) durch so sind darin abgebildet V.

Link zur Schließung

wenn so ist ein konvergentes Netz in einem topologischen Raum X, und die Reichweite von so liegt vollständig in einer Untermenge ein von X, dann sind die Grenzen von . so alles in der Schließen von ein im X. weil sie X eine Grenze von S, dann enthält per Definition jede Umgebung von X Elemente im Bereich von S, also Elemente von EIN. Dies gilt insbesondere für konvergente Zeilen: Zeilengrenzen in ein liegen in der schließung von EIN. Die Bedeutung von Netzen liegt in der inversen Eigenschaft.

In einem metrischer Raum die topologische Struktur wird vollständig durch die Konvergenz von Zeilen bestimmt: der Abschluss einer Teilmenge ein eines metrischen Raumes besteht genau aus allen Grenzen von Zeilen in EIN. Allgemeiner gilt dies in allen topologischen Räumen, die die erste Abzählbarkeitsaxiom Treffen:^[3] denn angenommen, das X ist ein Endpunkt einer Teilmenge ein von X. Per Definition ist jede Umgebung von X ein nicht leerer Querschnitt mit EIN. Weil der Raum X das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, existiert eine Folge von Umgebungen V₁, V₂,... von X mit der Eigenschaft, dass jede Nachbarschaft von X diese Reihe von Umgebungen aus einem bestimmten Index nein vollumfänglich umfasst. Wählen Sie in jeder Umgebung V_ich irgendein Punkt X_ich. Dann konvergiert die Punktreihe X₁, X₂... zu X weil jede Umgebung von X enthält einen Schwanz dieser Reihe.

In allgemeinen topologischen Räumen ist dies nicht mehr der Fall^[2]: der Abschluss einer Teilmenge ein von X kann strikt größer sein als die Menge aller Zeilengrenzen in EIN. Man kann sogar Beispiele für zwei verschiedene Topologien auf demselben Träger konstruieren, in denen dieselben Reihen auf dieselben Grenzen konvergieren, so dass die topologische Struktur nicht vollständig durch die Reihenkonvergenz bestimmt wird.

Die topologische Struktur hingegen wird durch die Konvergenz von Netzen bestimmt: der Abschluss einer Menge ein besteht aus allen Grenzen konvergenter Netze in EIN.^[3] weil spät X ein Schlusspunkt von ein sein; wir zeigen, dass es ein Netz mit Werten in . gibt ein existiert das zu X konvergiert. Betrachten Sie zu diesem Zweck die Sammlung ${displaystyle {mathcal {F}}_{x}}$ der Umgebungen von X als gerichtete Sammlung wie im letzten Beispiel oben. weil X ist ein Endpunkt von ein schneidet jede Umgebung von X die Sammlung EIN. spät so ein Bild sein, das ein beliebiges Element von . enthält ${displaystyle {mathcal {F}}_{x}}$ (d. h. jede Umgebung von X) ein Punkt vom Schnittpunkt dieser Umgebung mit ein Assoziiert. Dann ist so ein Netz mit Werten in ein das zu X konvergiert.