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Das Stromsammlung von a Sammlung${Anzeigestil S}$, angezeigt durch ${displaystyle {mathcal {P}}(S)}$ oder ${Displaystil 2^{S}}$, ist die Menge aller Teilmengen von ${Anzeigestil S}$. Das Symbol ${displaystyle {mathcal {P}}}$ steht für „Macht“, das englische Wort für „Macht“. Die Definition lautet also:

${displaystyle {mathcal {P}}(S)={Mitte Asubseteq S}}$.

Beispiel

Sie ${Anzeigestil S={a,b,c}}$, dann ist ${Anzeigestil {a,c}}$ eine Teilmenge von ${Anzeigestil S}$, genauso wie ${Anzeigestil {a,b}}$, ${Anzeigestil S={b,c}}$ usw. Die vollständige Liste der Teilmengen von ${Anzeigestil S}$ ist:

1. ${displaystyle {}=varnothing }$ das leere Sammlung
2. ${displaystyle {a}}$
3. ${Anzeigestil {b}}$
4. ${displaystyle {c}}$
5. ${Anzeigestil {a,b}}$
6. ${Anzeigestil {a,c}}$
7. ${Anzeigestil {b,c}}$
8. ${Anzeigestil {a,b,c}=S}$

Die Potenzmenge ist die Menge dieser Teilmengen:

${displaystyle {mathcal {P}}(S)=links{{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a, b,c} ight}.}$

wenn ${displaystyle n}$ die Anzahl der Elemente ist in ${Anzeigestil S}$, So ${Anzeigestil n=|S|}$, dann für den Leistungssatz:

${displaystyle |{mathcal {P}}(S)|=2^{n}}$.

Dies kann wie folgt gesehen werden: Jedes Element kann zu einer Teilmenge gehören oder nicht. Das ergibt insgesamt 2×2×2×...×2 Möglichkeiten.

Auch der Potenzsatz von a unendliche Sammlung gilt zu. Es Kantordiagonalbeweis zeigt, dass die Kardinalität der Potenzmenge einer unendlichen Menge ist immer strikt größer als die der Menge selbst (die Potenzmenge ist 'unendlich' als die ursprüngliche Menge).^[1] Dazwischen einerseits die Stromerhebung der natürliche Zahlen und auf der anderen Seite die reale Nummern ist ein bijektion zu finden (das geht mit unendlich Reihen von Nullen und Einsen).

Der Leistungssatz eines Satzes ${Anzeigestil S}$, mit den Änderungen drauf Verband, Überschneidung und ergänzen, ist das Standardbeispiel für a boolsche Algebra. Es ist sogar möglich zu zeigen, dass jeder endlich boolsche Algebra isomorph ist mit einer Booleschen Algebra einer Potenzmenge für eine gegebene Menge ${Anzeigestil S}$. Dies gilt nicht für unendliche boolesche Algebren, aber es gilt, dass jede unendliche boolesche Algebra a partielle Algebra einer Potenzmenge einer Booleschen Algebra.

Durch Assoziieren jedes Elements der Potenzmenge mit seinem Anzeigefunktion entsteht als bijektion zwischen ${displaystyle {mathcal {P}}(S)}$ und ${displaystyle {0,1}^{S}}$, die Menge aller Funktionen von ${Anzeigestil S}$ an das Paar ${displaystyle {0,1}}$. Dies erklärt die Notation ${Displaystil 2^{S}}$.

Die Relation "ist eine Teilmenge von" bildet auf einer Potenzmenge a Teilbestellung.