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Newton-Cotes-Formel für ${Anzeigestil n=2}$

EIN Newton-Cotes-Formel, benannt nach den Schöpfern Isaac Newton und Roger Cotes, ist eine Formel für die numerischAnsatz von a Integral- wenn gewichtete Summe von Funktionswerten in gleich weit Punkte. Die Grundidee hier ist, den Integranden durch a Polynom und integriere das Näherungspolynom exakt.

Definition

Gegeben ist die auf dem Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$ integrierbare Funktion ${Anzeigestil f.}$ Das Intervall ist unterteilt in ${displaystyle n}$ gleichlange Teilintervalle, die sogenannten Schrittlänge${Anzeigestil h=(b-a)/n}$ durch:

${displaystyle aleq x_{0}$

Die Nummer ${displaystyle n}$ heißt der Auftrag des Ansatzes. Die Funktion ${displaystyle f}$ wird angenähert durch die mit der Division verbundene Lagrange-Polynome${displaystyle ell_{i}}$durch:

${Anzeigestil f(x)ungefähr P(x)=Summe _{i=0}^{n}ell _{i}(x)f(x_{i})}$

Die Näherung für das Integral von ${displaystyle f}$ Über ${Anzeigestil [a,b]}$ ist:

${displaystyle int _{a}^{b}f(x)dxapprox int _{a}^{b}P(x)dx=int _{a}^{b}summe _{i=0}^{n }ell _{i}(x)f(x_{i})dx=Summe _{i=0}^{n}int _{a}^{b}ell _{i}(x)dxf(x_{ i})=Summe _{i=0}^{n}w_{i}f(x_{i}),}$

also als gewichtete Summe der Funktionswerte in den Teilpunkten, mit den Gewichtungsfaktoren:

${displaystyle w_{i}=int _{a}^{b}ell _{i}(x),mathrm {d} x}$

In dieser Definition sind die Endpunkte ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ im Ansatz enthalten: wir sprechen von a geschlossene Formel. Ebenso sogenannte offene Formeln abgeleitet werden, wobei die Endpunkte ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ sind keine Teilpunkte. Dafür sind verschiedene Methoden im Einsatz. Einige verwenden die Punkte ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$ wie oben, wähle andere

${displaystyle x_{1}=a { egin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}h,x_{2}=x_{1} h,ldots ,x_{n}=x_{n -1} h=b-{ egin{matrix}{frac {1}{2}}end{matrix}}h}$

Die Tabelle zeigt die standardisierten Gewichtungsfaktoren für die geschlossenen Formeln:

${displaystyle omega _{i}={frac {w_{i}}{b-a}}={frac {w_{i}}{nh}}}$

Auftrag nein	Methode	Gewichtsfaktoren ωich
1	Trapezregel	${displaystyle {frac {1}{2}}quad {frac {1}{2}}}$
2	Simpsons Regel	${displaystyle {frac {1}{6}}Quad {frac {4}{6}}Quad {frac {1}{6}}}$
3	3/8 - Linie	${displaystyle {frac {1}{8}}Quad {frac {3}{8}}Quad {frac {3}{8}}Quad {frac {1}{8}}}$
4	Boolesche Regel	${displaystyle {frac {7}{90}}Quad {frac {32}{90}}Quad {frac {12}{90}}Quad {frac {32}{90}}Quad {frac {7}{90} }}$
5		${displaystyle {frac {19}{288}}Quad {frac {75}{288}}Quad {frac {50}{288}}Quad {frac {50}{288}}Quad {frac {75}{288} }Vierer {frac {19}{288}}}$
6		${displaystyle {frac {41}{840}}Quad {frac {216}{840}}Quad {frac {27}{840}}Quad {frac {272}{840}}Quad {frac {27}{840} }Vierer {frac {216}{840}}Vierer {frac {41}{840}}}$

Hinweis

Die Boolesche Regel heißt auch Regel von Bode erwähnt. Dies basiert auf einem Tippfehler aus der Vergangenheit, bei dem Boole wird als Bo . gelesende.

Das Gewichtsfaktoren für höhere Bestellungen sind:

41 216 27 272 27 216 41 / 840

751 3577 1323 2989 2989 1323 3577 751 / 17280

989 5888 −928 10496 −4540 10496 −928 5888 989 /28350

2857 15741 1080 19344 5778 5778 19344 1080 15741 2857 / 89600

Die ungeraden Zeilen haben einen geringeren Grad an algebraischer Genauigkeit als die geraden Zeilen.Die höheren geraden Zeilen haben negative Koeffizienten, was Rundungsfehler erhöht.Die Simpson-Regel ist bei weitem die am weitesten verbreitete, vor allem, weil sie einfach, aber ziemlich genau ist.

Für eine genaue Approximation ist es wichtig, einerseits die Ordnung der Approximation niedrig zu wählen und andererseits, dass sich der Integrand über die Teilintervalle nicht zu stark ändert. Diese Anforderungen sind widersprüchlich, so dass der Integrationsbereich in Teilintervalle unterteilt wird und in jedem Teilintervall eine Näherung niedriger Ordnung bestimmt wird. Beispiele sind die Herrschaft von Milne und der Regel von Weddle.

Berechnung der Gewichte

Ein Beispiel zeigt anschaulich, wie die Gewichtungsfaktoren berechnet werden. Ohne die Allgemeinheit zu verletzen, wählen wir ${Anzeigestil a=0}$ und ${Anzeigestil b=1.}$ Wir schauen uns den Fall an ${Anzeigestil n=3,}$ So ${Anzeigestil h=1/3.}$

${displaystyle ell_{0}(x)=-{frac {9}{2}}(x-h)(x-2h)(x-1)}$

${displaystyle ell_{1}(x)={frac {27}{2}}x(x-2h)(x-1)}$

${displaystyle ell_{2}(x)=-{frac {27}{2}}x(x-h)(x-1)}$

${displaystyle ell_{3}(x)={frac {9}{2}}x(x-h)(x-2h)}$

${displaystyle w_{0}=int _{0}^{1}ell _{0}(x){m {d}}x=-{frac {9}{2}}int _{0}^{1 }(xh)(x-2h)(x-1){m {d}}x={ frac {1}{8}}}$

${displaystyle w_{1}=int _{0}^{1}ell _{1}(x){m {d}}x={frac {27}{2}}int _{0}^{1} x(x-2h)(x-1){m {d}}x={ frac {3}{8}}}$

${displaystyle w_{2}=int _{0}^{1}ell _{2}(x){m {d}}x=-{frac {27}{2}}int _{0}^{1 }x(xh)(x-1){m {d}}x={ frac {3}{8}}}$

${displaystyle w_{3}=int _{0}^{1}ell _{3}(x){m {d}}x={frac {9}{2}}int _{0}^{1} x(xh)(x-2h){m {d}}x={ frac {1}{8}}}$

Beispiel

Wir nähern uns der Fläche eines Viertelkreises über dem ${Anzeigestil x}$-Achse, um 0 und mit Radius 1.Wir wählen ${Anzeigestil n=4}$ und berechnen:

${displaystyle int _{0}^{1}f(x){m {d}}x=int _{0}^{1}{sqrt {1-x^{2}}}{m {d}} xapprox w_{0}f(0) w_{1}f(0{,}25) w_{2}f(0{,}5) w_{3}f(0{,}75) w_{4}f (1)=}$

${displaystyle {frac {1}{90}}left(7cdot 1 32cdot {frac {sqrt {15}}{4}} 12cdot {frac {sqrt {3}}{2}} 32cdot {frac {sqrt {7}} {4}} 7cdot 0ight)={frac {7 8{Quadrat {15}} 6{Quadrat {3}} 8{Quadrat {7}}}{90}}=0{,}773}$

Vergleichen Sie das Ergebnis mit dem genauen Wert:

${displaystyle int _{0}^{1}{sqrt {1-x^{2}}}{m {d}}x={frac {pi }{4}}ca. 0{,}785}$