WikiDer > Trapezmaßstab

Die Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ (in Blau) wird durch eine lineare Funktion (in Rot) angenähert. Die Fläche des Trapezes, die durch die rote Linie, die x-Achse und die vertikalen Linien bei . gebildet werden kann ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ ist eine Näherung des Integrals von ${Anzeigestil f(x)}$ von ${Anzeigestil a}$ bis um ${Anzeigestil b.}$

In dem numerische Mathematik ist der Trapezregel eine Näherungsformel für die numerisch Wert von a Integral- berechnen. Die Regel ist ein Sonderfall von a Newton-Cotes-Formel.

Die Trapezregel approximiert das Integral einer Funktion ${displaystyle f}$ über die Intervall${Anzeigestil [a,b]}$ durch Approximieren des Integranden auf dem Intervall durch eine lineare Funktion, die dem Integranden an den Endpunkten des Intervalls entspricht. Dies gibt der Regel auch ihren Namen: Die durch das Integral repräsentierte Fläche wird durch die Fläche einer Näherung angenähert trapezförmig. Die Approximation wird somit zu einer gewichteten Summe der Funktionswerte des Integranden in den Endpunkten des Intervalls.

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),mathrm {d} xapprox (b-a){frac {f(a) f(b)}{2}}.}$

Für eine gute Näherung ist es wichtig, dass die Variation des Integranden über das Intervall nicht zu groß ist. In der Praxis wird daher das Intervall in eine Anzahl von Teilintervallen unterteilt und die Trapezregel wird auf jedes Teilintervall angewendet. Die Approximation des Integrals für ${Anzeigestil [a,b]}$ ist dann die Summe der ${displaystyle n}$ getrennte Ansätze. Dieser Ansatz wird zum zusammengesetzte Trapezregel erwähnt. Wenn alle Teilintervalle gleicher Länge ${displaystyle h}$ sind, wird die Näherung:

${displaystyle int _{a}^{b}f(x),mathrm {d} xapprox {frac {ba}{n}}left({f(a) f(b) over 2} sum _{k=1 }^{n-1}fleft(ak{frac {ba}{n}}ight)ight).}$

Die Näherung kann geschrieben werden als:

${displaystyle {frac {ba}{n}}left({ frac {1}{2}}f(x_{0}) f(x_{1}) f(x_{2}) ldots f(x_{n- 1}) { frac {1}{2}}f(x_{n})ight).}$

Unter bestimmten Bedingungen ist der Ansatz für ${displaystyle nightarrow infty }$ gegen den Wert des Integrals konvergiert.

Ein Vorteil der Trapezregel ist, dass sie leicht zu berechnen und zu verstehen ist. Kompliziertere Möglichkeiten numerische Integration, wie Simpsons Regel oder der Gaußsche Quadraturformels genauere Näherungen geben.

Siehe auch

• Euler-Maclaurin . Formel