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Irrationale Zahlen: (3)√2√3√5 φ eπ
Verschiedene Darstellungen des Goldenen Schnitts ${Anzeigestil Varphi }$
binär	1,1001 1110 0011 0111 011...
Dezimal	1,6180 3398 8749 8948 482...[1]
hexadezimal	1.9E3779 B97F 4A7C 15F3 9...
Kettenbruch	${displaystyle 1 {cfrac {1}{1 {cfrac {1}{1 {cfrac {1}{1 {cfrac {1}{1 ddots }}}}}}}}}$
algebraisch	${displaystyle {frac {1 {sqrt {5}}}{2}}}$

Goldener Schnitt

ein steht zu b wenn ein b steht zu ein

Das Goldener Schnitt, Abschnitt Aurea oder Abschnitt divina, auch genannt Unterteilung in extremen und mittleren Grund heißt, ist die Verteilung von a Liniensegment in zwei Teilen mit einem Special Verhältnis. Im Goldenen Schnitt ist der größere der beiden Teile zum kleinsten, ebenso wie das gesamte Liniensegment zum größeren. Bezeichnen wir das meiste mit ein und der kleinste teil mit b, dann ist das Verhältnis von beiden so, dass ${Anzeigestil a:b=(a b):a}$.

Das beabsichtigte Verhältnis a/b wird es sein goldene Zahl benannt und bezeichnet mit dem griechischen Buchstaben ${Anzeigestil Varphi }$ (phi); Wie nachfolgend dargestellt:

${displaystyle varphi ={frac {1 {sqrt {5}}}{2}}ungefähr 1{,}618}$

Die Zahl ist also irrational, aber nicht transzendent. Außerdem gilt:

${displaystyle varphi =2cos 36^{circ }=2cos({ frac {1}{5}}pi,mathrm {rad})}$

Obwohl die mathematischen Eigenschaften des Goldenen Schnitts seit der Antike untersucht wurden, stammt der Begriff "Goldener Schnitt" erst in den 1930er Jahren.

Mathematik

Euklid

Euklid hat angegeben, wie a Liniensegment muss geteilt werden, um den Goldenen Schnitt zu erhalten. Der goldene Schnitt an diesem Punkt so im Liniensegment AB ist so:

${displaystyle {frac {|AS|}{|SB|}}={frac {|AB|}{|AS|}}}$.

Für die Längen ein und b der Teile bedeutet:

${displaystyle {frac {a}{b}}={frac {a b}{a}}}$

Das Verhältnis ${displaystyle { frac {a}{b}}}$ wird genannt goldene Zahl und wird bezeichnet mit ${Anzeigestil Varphi }$.

Es gilt also:

${displaystyle varphi =1 { frac {1}{varphi }}}$,

was zu dem führt quadratische Gleichung

${Displaystil-Varphi ^{2}=Varphi 1}$,

${displaystyle varphi ^{2}-varphi -1=0}$,

mit dem positiv Lösung

${displaystyle varphi ={frac {1 {sqrt {5}}}{2}}=1{,}61803398874989ldots}$

Hinweis: außer ${Anzeigestil Varphi }$ hat die Gleichung auch die negative Lösung?

${displaystyle varphi _{-}=-{frac {1}{varphi }}={frac {1-{sqrt {5}}}{2}}=-0{,}61803398874989ldots }$.

Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Die einfachste Konstruktion des Goldenen Schnitts geht so (siehe Bild):

• Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den rechteckigen Seiten AB der Länge 1 und BC der Länge 2. De Hypotenuse AC hat dann die Länge ${displaystyle {sqrt {5}}}$.
• Kreisen Sie von A zu Punkt B zu Punkt D auf dem Hypotenuse.
• Kreisen Sie von C zu Punkt D zu Punkt E auf BC ein. Jetzt ist

${displaystyle EC=DC={sqrt {5}}-1}$,

so dass

${Displaystil BE=2-({Quadrat {5}}-1)=3-{Quadrat {5}}}$.

Daraus folgt:

${displaystyle BE imes BC=6-2{sqrt {5}}=EC^{2}}$;.

So:

${displaystyle {frac {BE}{EC}}={frac {EC}{BC}}}$,

mit anderen Worten, die Seite BC ist nach dem Goldenen Schnitt unterteilt.

Unterschiedlicher Aufbau mit Zirkel und Lineal

• Konstruiere ein Quadrat ABCD mit Seitenlänge 2.
• Bestimmen Sie den Mittelpunkt E von AB.
• Kreisen Sie von E den Punkt C zum Punkt G auf der Verlängerung von AB ein.

Dann ist B der Goldene Schnitt im Segment AG. Letztendlich:

${displaystyle {frac {AG}{AB}}={frac {AE EG}{AB}}={frac {1 {sqrt {5}}}{2}}=varphi }$.

goldenes Rechteck

Ein goldenes Rechteck, unterteilt in ein Quadrat und ein kleineres goldenes Rechteck

Ein goldenes Rechteck ist ein Rechteck mit Seiten im Verhältnis der goldenen Zahl : Länge : Breite = .

Wenn die Breite ein ist und die Länge einb, gilt folgendes:

${displaystyle {frac {a}{b}}={frac {a b}{a}}}$

Wenn wir ein Quadrat in das goldene Rechteck zeichnen, mit ein als Seite ist das kleinere Rechteck, das übrig bleibt, wieder ein goldenes Rechteck. Durch Wiederholung dieses Vorgangs mit den immer kleiner werdenden Rechtecken entsteht eine goldene Spirale, auch bekannt als Fibonacci-Spirale benannt, nach dem Fibonaccia-Folge.

Das goldene Rechteck ist länger als ein Rechteck mit einem Längen-Breiten-Verhältnis von Lichtenberg-Verhältnis (das Quadratwurzel aus 2, ca. 1.414), wobei das Rechteck in zwei Rechtecke teilbar ist, die dem ganzen Rechteck ähnlich sind.

Mathematische Ansätze

Der Wert von φ wird angenähert durch das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen im Fibonaccia-Folge.Um dies zu sehen schreiben wir φ as Kettenbruch indem man φ durch 1 1/φ auf der rechten Seite der Gleichung ersetzt:

${displaystyle varphi =1 {frac {1}{1 {frac {1}{1 {frac {1}{1 {frac {1}{...}}}}}}}}=[1;1,1 ,1,1,Punkte ]}$

Das kommt, genau wie die Fibonaccia-Folge, also geometrisch, ausgehend von einem beliebigen Rechteck, jeweils ein Quadrat auf die Längsseite des Rechtecks ​​zeichnen, wobei φ zunehmend durch die Seitenverhältnisse des resultierenden Gesamtrechtecks ​​angenähert wird.

Die goldene Zahl kann auch verwendet werden als Kettenwurzel Werden ausgedrückt:

${displaystyle varphi = {Quadrat {1 {Quadrat {1 {Quadrat {1 Punkte }}}}}}}$

Geschichte

Mathematik

Bei den vier Längen im Pentagramm (gekennzeichnet durch unterschiedliche Farben) gilt, dass sich die Aufeinanderfolgenden in der Reihenfolge ihrer Größe immer wie der Goldene Schnitt aufeinander beziehen

Zunächst begegnen uns nur Abhandlungen über den Goldenen Schnitt im mathematischen Bereich. Das erste wäre geschrieben worden von Theano, ein Arzt und Mathematiker, der der pythagoräischen Schule angehörte. Aber diese Arbeit wäre verloren gegangen. Der erste, der explizit darüber schrieb, war Euklid. In seinem Elemente er gibt die erste bekannte Definition des Goldenen Schnitts, den er als extremes und durchschnittliches Verhältnis bezeichnet. Seine Abhandlung zu diesem Thema wurde 1509 von den Italienern aus der Vergessenheit gerettet Luca Pacioli. Im Die Divina Proportione nennt dies den goldenen Schnitt, die göttliche Proportion.

Johannes Kepler beschrieb den Goldenen Schnitt als kostbares Juwel: „Die Geometrie hat zwei große Schätze: Einer ist der Satz des Pythagoras, und das andere die Teilung einer Linie in extremes und mittleres Verhältnis; das erste können wir mit einer Menge Gold vergleichen, das zweite können wir ein kostbares Juwel nennen."

Martin Ohm gilt als der erste, der den Begriff Goldener Schnitt verwendet, um dieses Verhältnis zu beschreiben. Er tat dies um 1830.

Roger Penrose ein Muster entdeckt (die Penrose-Fliesen), die den Goldenen Schnitt im Bereich von verwendet nicht periodische Tessellationen. Dies führte zu neuen Erkenntnissen über Quasikristalle.

Ästhetik

Erst im 19. Jahrhundert erhielt der Goldene Schnitt eine besondere Bedeutung außerhalb der Mathematik.^[2] Einigen zufolge besitzt der Goldene Schnitt seitdem eine intrinsische Schönheit, die dieses Verhältnis in der klassischen Architektur und Malerei verbreitet. Das Deutsch Adolf Zeising veröffentlicht im Jahr 1854 zum Beispiel Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. In diesem Buch verteidigt er die Ansicht, dass der ideale menschliche Körper vollständig nach dem Goldenen Schnitt konstruiert ist. Auch die Bilder, die Phidias hergestellt in Parthenon werden von manchen mit dem Goldenen Schnitt in Verbindung gebracht. Der erste Buchstabe seines Namens, der griechische Buchstabe φ, wurde daher von therefore verwendet Mark Barr verwendet, um den Goldenen Schnitt zu bezeichnen.

Der ästhetische Status des Goldenen Schnitts bleibt umstritten. Der Goldene Schnitt taucht in Schriften über Malerei oder Architektur erst um 1830 auf, und es gibt keine statistischen Belege für die Behauptung, dass der Schnitt verbreitet ist oder dass der Mensch diesem Verhältnis eine unbewusste Vorliebe hat. Im Laufe des 20. Jahrhunderts hat der Goldene Schnitt dennoch einen Platz in verschiedenen Formen der Kunstvermittlung gefunden. Während in der Malerei der Goldene Schnitt weitgehend aufgegeben wurde - mit Ausnahme von exception Salvador Dalic der den Goldenen Schnitt bewusst angewendet hat - besteht in der (Werbung)Fotografie zum Beispiel die Tradition, bedeutende Teile eines Fotos so zu komponieren, dass eine Verteilung des Goldenen Schnitts entsteht. Andere behaupten jedoch, dass der Goldene Schnitt in der bildenden Kunst und nicht nur von Salvador Dalí sehr weit verbreitet ist. Da der Goldene Schnitt in der Natur so häufig vorkommt (siehe auch die Fibonaccia-Folge) sind wir Menschen damit bestens vertraut. Es ist für unsere unterbewusste sensorische Verarbeitung schneller zu verstehen, als wenn ein Verhältnis nicht dem Goldenen Schnitt entspricht. Es ist daher plausibel, dass dies allgemein als ästhetisch erfahren wird. Damit eignet sich das Verhältnis sehr gut für alle Arten der bildenden Kunst, von Architektur und Produktdesign bis hin zu Werbung und Malerei. Der Goldene Schnitt ermöglicht ein ausgewogenes Bild, bei dem der Betrachter schneller zum Kern kommt und somit ein besseres ästhetisches Erlebnis hat.

Auch in der Musikkunst zeigt sich der Goldene Schnitt. Dies gilt insbesondere für Tastaturkompositionen von Johann Sebastian Bach wobei sich der ausdrucksstarke Höhepunkt in Bezug auf die Taktzahl oft im Schnittpunkt des Grundzahlenverhältnisses des Goldenen Schnitts 1:1,618 festlegt...

Keltische Gnostiker verwendeten den Goldenen Schnitt unter anderem im nordischen Pentagramm, das von entdeckt wurde Harald Böhlke.

Der Modulor

Ein architektonisches Maßsystem, das bewusst den Goldenen Schnitt nutzt, ist das modular. Das System wurde zwischen 1942 und 1955 von dem schweizerisch-französischen Architekten entwickelt Le Corbusier und besteht aus zwei Größenbereichen: dem roten Bereich und dem blauen Bereich.

Für die rote Serie nahm er als Ausgangspunkt ein Maß von 183 cm – die Länge des menschlichen Körpers nach Le Corbusier. Durch wiederholtes Teilen dieses Taktes durch φ ergibt sich die Sequenz 183, 113, 70, 43, 27...

Bei der blauen Serie tat er dasselbe mit einem Maß von 226 cm – der Länge des menschlichen Körpers mit ausgestrecktem Arm. Diese Größe ist auch eine Verdoppelung der 'Nabelhöhe' (113 cm), die bereits in der roten Serie vorkam: 226, 140, 86, 54 ...

Ein bekanntes Beispiel für ein auf dem Modulor basierendes Gebäude ist Le Corbusiers Unite d'Habitation („Wohneinheit“): eine „vertikale Stadt“, deren erste Instanz in Marseille erbaut wurde. Spätere Versionen folgten in Nantes, Berlin, kurz und Firma.

In der Natur

Die Länge eines großen Blocks relativ zu einem benachbarten kleineren Block ist der Goldene Schnitt, bei dem eine logarithmische Spirale eingezeichnet ist

Das Fibonaccia-Spirale, basierend auf dem Fibonaccia-Folge

Der Goldene Winkel (ca. 137,5°) ist der Winkel, der einen Kreis nach dem Goldenen Schnitt teilt. In der Natur sehen wir diesen Winkel in Teilen von Blumen wie Blütenblättern, Samen und Kelchblättern.

Solche Blütenteile wachsen aus Gewebestücken, die an einem festen Ort entstehen, beispielsweise Blütenblätter, die aus dem Herzen einer Blüte stammen. Um optimales Sonnenlicht zu erhalten, ist es wichtig, dass die Blätter alle in eine andere Richtung wachsen und somit eine Scheibe bilden. Bildet jedes Blatt mit seinem Vorgänger einen goldenen Winkel, wird die Scheibe am effizientesten gefüllt.^[3] (Vergleichen Sie dies zum Beispiel mit einem sehr ineffizienten Winkel: 120°. In diesem Fall wächst das vierte Blatt genau an der gleichen Stelle wie das erste Blatt, das siebte auch usw. Drei Blattpakete wachsen übereinander werden dann erstellt, bei 0° , 120° und 240°.)

Eine populäre Theorie, die etwas Ähnliches über die Hülle des nautilus pompilius, stellt sich als falsch heraus. Die von dieser Schale gebildete logarithmische Spirale hat einen Winkel von 107,04°, einen Winkel, der weder goldener Winkel noch mit dem goldenes Dreieck zusammenhängen kann.

Siehe auch

• Zahlensystem mit grundlegendem Goldenen Schnitt
• fraktal
• Piot-Nummer. Die goldene Zahl ist eine Pisot-Zahl.

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