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In dem Analyse, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Funktionsgleichung jeder Vergleich, Das hier Funktion wie ein implizite Form spezifiziert.

Oft bezieht sich die Gleichung auf den Wert einer Funktion (oder Funktionen) auf ein bestimmtes Punkt mit seinen Werten an anderen Punkten. Zum Beispiel können Eigenschaften von Funktionen bestimmt werden, indem die Typen von Funktionsgleichungen berücksichtigt werden, die sie erfüllen. Der Begriff Funktionsgleichung bezieht sich normalerweise auf Gleichungen, die nicht einfach zu algebraische Gleichungen reduziert werden kann.

Beispiele

• Zur Funktionsgleichung

${displaystyle f(s)=2^{s}pi ^{s-1}sin left({frac {pi s}{2}}ight)Gamma (1-s)f(1-s)}$

ist zufrieden mit dem Riemann-Zeta-Funktion . Der Großbuchstabe Γ weist auf die Gamma-Funktion Auf.

• Diese Funktionsgleichungen werden von der Gammafunktion erfüllt. Die Gammafunktion ist die eindeutige Lösung des Systems aller drei folgenden Gleichungen:

${Anzeigestil f(x)={f(x 1) über x}}$

${displaystyle f(y)fleft(y {frac {1}{2}}ight)={frac {sqrt {pi}}{2^{2y-1}}}f(2y)}$

${displaystyle f(z)f(1-z)={pi über sin(pi z)},!,,,}$       (Eulersche Reflexionsformel)

• Die Funktionsgleichung

${displaystyle fleft({az b over cz d}ight)=(cz d)^{k}f(z)}$

wahr ein, b, c, dganze Zahlen sind, die entsprechen Anzeige − bc = 1, d.h. ${displaystyle { egin{vmatrix}a&b/c&dend{vmatrix}},=1}$, was bedeutet ${displaystyle { egin{bmatrix}a&b/c&dend{bmatrix}},}$ ein unitäre Matrix ist (d.h. es hat Determinante 1), definiert f wie ein modulare Form außer Betrieb k.

Lösen von Funktionsgleichungen

Das Lösen von Funktionsgleichungen kann sehr schwierig sein, aber es gibt einige gängige Methoden. In dem dynamische Programmierung zum Beispiel eine Vielzahl von sequentiellen Näherungsverfahren^[1][2] gewöhnt an Bellman-Funktionsgleichungen zu lösen, einschließlich Methoden basierend auf Fixpunkt-Iterationen. Die Hauptmethode zum Lösen einfacher Funktionalgleichungen ist Auswechslung. Oft ist es hilfreich, wenn möglich Surjektivität oder Injektivität und Gerade oder Seltsamkeit nachzuweisen. Es ist auch möglich, mögliche Lösungen zu erraten. Induktion ist eine nützliche Technik, wenn die Funktion nur für die rational Werte.

Fußnoten