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In dem mathematische Analyse, eine Unterregion der Mathematik, ist der Haargröße eine Möglichkeit, . ein "invariantes Volumen" zuzuweisen Teilmengen von lokal kompakte topologische Gruppen und dann a Integral- vor dem Funktionen dazu Gruppen definieren.

Dieses messen wurde um 1932 von der ungarischMathematikerAlfred Haar eingeführt. Haargrößen werden in vielen Bereichen der Analyse und Zahlentheorie, und auch im Schätztheorie benutzt.

Definition

Sie ${Anzeigestil G}$ eine lokal kompakte topologische Gruppe. Hinweis ${displaystyle {mathcal {C}}_{00}}$ für den Vektorraum komplexwertiger stetiger Funktionen mit kompakter Unterstützung in ${Anzeigestil G,}$ und ${displaystyle {mathcal {C}}_{00}^{ }}$ für die Teilmenge der Funktionen, die überall nicht negative reelle Werte annehmen. Hinweis ${displaystyle {}_{a}f}$ für die links übersetzt einer Funktion ${displaystyle f}$ über ein Gruppenelement ${Anzeigestil a,}$ d.h. ${Anzeigestil {}_{a}f(x)=f(ax).}$

EIN linkes Haar integral auf ${displaystyle {mathcal {C}}_{00}^{ }}$ ist ein Bild ${displaystyle I:{mathcal {C}}_{00}^{ } oder {mathbb {R} }}$ mit den Eigenschaften:

1. ${Anzeigestil I(f)>0}$ wenn ${displaystyle f}$ ist nicht identisch 0
2. ${displaystyle forall f,gin {mathcal {C}}_{00}^{ }:I(f g)=I(f) I(g)}$
3. ${displaystyle forall fin {mathcal {C}}_{00}^{ },alpha geq 0:I(alpha f)=alpha I(f)}$
4. ${displaystyle forall fin {mathcal {C}}_{00}^{ },ain G:I({}_{a}f)=I(f)}$

So ein Bild ${Anzeigestil I}$ existiert und ist bis auf einen konstanten Faktor eindeutig.^[1]

Aus der Existenz und Eindeutigkeit des linken Haar-Integrals folgt die Existenz von a linke Haargröße, d.h. a messen auf einen Sigma-Algebra enthält mindestens die offenen Mengen von containing ${Anzeigestil G}$ enthält und mit den Eigenschaften:^[1]

1. ${Anzeigestil Lambda (U)>0}$ für jede offene Sammlung ${Displaystil U}$
2. ${ Anzeigestil Lambda (U)$ für mindestens eine nicht leere offene Menge ${Displaystil U}$
3. ${ Anzeigestil Lambda }$ bleibt invariant, d.h. ${Anzeigestil für alle ain G,BTeilmenge G:lambda (aB)=lambda (B)}$

Dies ist auch einzigartig, außer bei der Multiplikation mit einer positiven Konstanten. Aus Symmetriegründen gibt es auch (außer und konstant nach) eindeutige rechtes Haar Integral und ein richtige Haargröße.

Modul

Die richtige Haargröße ${displaystyle lambda_{R}}$ ist nicht unbedingt eine Konstante mehrere der linken Haargröße ${displaystyle lambda_{L}.}$ Die beiden Größen sind jedoch absolut kontinuierlich relativ zueinander, so dass aufgrund des Radon-Nikodym-Theorems eine messbare Funktion existiert ${displaystyle Delta:G o mathbb {R}}$, Modul oder modulare Funktion genannt, mit der Eigenschaft, dass

${displaystyle forall Ain {mathcal {B}}:lambda _{R}(A)=int _{A}Delta (g)dlambda _{L}(g)}$

Wenn das linke und das rechte Haar-Maß Vielfache voneinander sind, ist der Modul konstant und kann gleich der Konstanten 1 gewählt werden; solche topologischen Gruppen heißen unimodular. Dies ist bei abelschen Gruppen eindeutig der Fall. Auch Kompaktgruppen sind immer unimodular, auch wenn sie nicht abelsch sind.

Ausgehend vom Haar-Maß definiert man auch die Faltung von zwei Funktionen auf G.

Literatur

• (und) Lynn Loomis, Eine Einführung in die abstrakte harmonische Analyse (Eine Einführung in die abstrakte harmonische Analyse), D. van Nostrand und Co., 1953.
• (und) André Weil, Grundlegende Zahlentheorie (Grundlegende Zahlentheorie), Academic Press, 1971.

Externer Link

• (und) Zur Existenz und Eindeutigkeit invarianten Maße auf lokal kompakten Gruppen - von Simon Rubinstein-Salzedo