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In dem Mathematik ist ein Sigma-Algebra, σ-Algebra oder Stamm ein SammlungTeilmengen von einem gegebenen Sammlung was nicht nur ein Algebra der Mengen ist, für die aber auch die zusätzliche Eigenschaft gilt, dass die Verband zählbarer Untersammlungen gehört zur Sammlung (daher die Terminologie sigma). Daher ist es in einer Ge-Algebra nicht nur möglich, mit Mengen zu rechnen, wie in einer Algebra, sondern ist auch eine Art Begrenzungskonzept möglich.
Eine σ-Algebra hat die entsprechenden Eigenschaften, um die "Ereignisse" im zu finden Wahrscheinlichkeit oder die "messbaren Mengen" im Maßtheorie Formen.
Definition
A -Algebra ist a Algebra der Mengen die unter zählbarer Vereinigung abgeschlossen ist. Ausdrücklich:
Eine Familie von Teilmengen von a Sammlung ist ein σ-Algebra der Mengen um wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
Die einzige Verschärfung der Definition einer Algebra von Mengen ist, dass nicht nur für endlich, sondern auch für zählbar unendliche Assoziationen müssen geschlossen werden.
Die Sammlung wird diesbezüglich universelle Kollektion oder Universum erwähnt.
Die Elemente von werden genannt messbare Sammlungen (Wahrscheinlichkeit: Veranstaltungen) und das Paar ein messbarer Raum.
Beispiele
Das Stromsammlung ist eine σ-Algebra, genannt de diskrete -Algebra.
Das Paar bildet eine σ-Algebra, genannt de trivial oder indiskrete -Algebra.
Interpretation
Die Elemente von sind alle möglichen Ergebnisse von Beobachtungen, die wir uns vorstellen können. Die Elemente von sind Ereignisse, die eintreten können oder nicht. Eine Veranstaltung fungiert als .
so kann sind die Sammlung aller möglichen Längen, die mein Bleistift am 26. April 2007 mittags mitteleuropäischer Sommerzeit haben kann. Oder besser gesagt: die Sammlung aller möglichen Bleistiftlängen das kann ich mir vorstellen, denn in Wirklichkeit hatte mein Bleistift natürlich nur eine Länge. Sagen wir das , die nicht-negativen reellen Zahlen. Das Universum muss groß genug sein, um alle realistischen Möglichkeiten zu umfassen, aber die konkrete Wahl sagt mehr über meine Vorstellungskraft als über die Realität aus.
Wenn ich meinen Bleistift zu der genannten Zeit anschaue, hat er eine gewisse Länge. Das Universum Ω muss also zur Algebra der Ereignisse gehören.
Vergleiche ich meinen Bleistift zu dem genannten Zeitpunkt mit einem kalibrierten Messstab von 10 Zentimetern, kann ich prinzipiell feststellen, ob der Bleistift höchstens 10 Zentimeter lang ist. Das Ereignis „der Bleistift ist nicht länger als 10 Zentimeter“ gehört daher zur Algebra der messbaren Mengen. Und auch ihr ergänzendes Event „Der Bleistift ist länger als 10 Zentimeter“.
In ähnlicher Weise kann argumentiert werden, dass die Vereinigung zweier Ereignisse wieder ein Ereignis sein kann und daher zur Algebra gehören muss.
Die Hauptannahme, die der Verwendung von -Algebren zugrunde liegt, ist also: Eine Vereinigung einer unendlichen Reihe von messbaren Aussagen gilt immer noch als messbar.
Wenn ich Messungen unterschiedlicher Größenordnung kombiniere, wird das Universum zumindest ist es kartesisches Produkt der verschiedenen Ergebnismengen.
Wenn ich zu verschiedenen Zeiten Messungen einer Menge vornehme, die sich im Laufe der Zeit ändern kann, dann groß genug sein, um alles Mögliche unterzubringen Entwicklungen der beobachtbaren Welt. Besonders im Studium der stochastische Prozesse wird daher oft die Pfadraum (eine Evolution ist ein zeitabhängiger Weg in einem Zustandsraum).
Messbares Bild
Für zwei gegebene messbare Räume und unterscheidet einen messbare Bilder, das sind bilder die die Struktur der σ-Algebren in dem Sinne respektieren, dass
In dem Kategorie der messbaren Räume bilden die messbaren Bilder die Morphismen.
Produktion
Das Überschneidung einer Familie von σ-Algebren auf dem gleichen zugrundeliegenden Universum, ist wieder eine σ-Algebra.
Die Sigma-Algebra hervorgebracht durch eine gegebene Menge von Teilmengen des Universums, ist der Schnittpunkt aller σ-Algebren, zu denen diese Teilmengen gehören. Mit anderen Worten: Sie ist die kleinste σ-Algebra, für die die gegebenen Teilmengen alle messbar sind.
Beispiel
Das Borelstam von a topologischer Raum ist die kleinste σ-Algebra, die alle . enthält offene Sammlungen enthält.
Kartesisches Produkt zweier Sigma-Algebren
Sind zwei messbare Räume gegeben und . Auf der kartesisches Produkt sind die Produkte messbarer Mengen
nicht unbedingt eine Sigma-Algebra. Sie produzieren eine Sigma-Algebra, und wir nennen sie die Produkt (Sigma) Algebra.
Das ProjektionBilder sind messbare Bilder im obigen Sinne.
Beispiel
Die Produktdehnung der Borelschen Dehnung auf der reellen Zahlenachse (ausgestattet mit der gewöhnlichen Topologie) mit sich selbst ist der Borelstam auf der realen Ebene Die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt (0,0) und Radius 1 ist ein Beispiel für eine messbare Menge in der Ebene, die nicht das Produkt zweier messbarer Mengen der Geraden ist. Es kann als abzählbar unendliche Vereinigung solcher Produkte geschrieben werden (zB eine Vereinigung von offenen Rechtecken, deren Seiten parallel zu den Achsen sind).
Bezug zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Maßtheorie
Prinzipiell können bereits Mengenalgebren als Basis für die Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist dann eine Zahl zwischen 0 und 1, die mit einem Element von ist assoziiert. Die allgemeine Maßtheorie kann ähnlich beginnen, indem die Größe einer Menge größer als 1 oder sogar unendlich sein kann.
Eine solche "endliche" Theorie bringt jedoch technische Schwierigkeiten mit sich, wenn man Grenzen von unendlich Reihen möchte stochastische Variablen bzw. integrierbare Funktionen überprüfen. Das von σ-Algebren unterstützte Konzept der "abzählbar unendlichen" Messbarkeit überwindet dieses Manko.