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Die möglichen Manipulationen der Zauberwürfel Gruppe gründen.

In dem Gruppentheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Gruppe ein algebraische Struktur das besteht aus a Sammlung${Anzeigestil G}$ und ein binäre Operation (Gruppenbearbeitung) das zu zwei Elemente von ${Anzeigestil G}$ ein weiteres Element von ${Anzeigestil G}$ fügt hinzu. Die Sammlung ${Anzeigestil G}$ und der Gruppenbetrieb muss einige Bedingungen erfüllen, die Gruppenaxiome. Es gibt vier: die Gruppenbearbeitung ist Geschlossen und assoziativ; es ist einer in der gruppe neutrales Element für die Gruppenbearbeitung, die Identität, und jedes Element in der Gruppe hat a inverses Element. Ein Beispiel für eine Gruppe sind die ganze Zahlen mit dem Zusatz als Operation.

Die Axiome gelten für alle Gruppen, aber Gruppen können sehr unterschiedlich sein. Sie sind Gegenstand der Gruppentheorie. Gruppen ermöglichen die strukturellen Aspekte von Objekte unterschiedlicher Herkunft werden einheitlich untersucht. Die Allgegenwart von Gruppen in vielen Bereichen, sowohl innerhalb als auch außerhalb der Mathematik, macht Gruppen zu einem zentralen Organisationsprinzip in der zeitgenössischen Mathematik.^[1][2]

Gruppen teilen eine grundlegende Affinität zum Konzept der Symmetrie. EIN Symmetriegruppe kodiert Symmetrieeigenschaften von a geometrisch Objekt: Es besteht aus der Menge von Transformationen, die das Objekt unverändert lassen, und wenn Operation Durchführen zweier solcher Transformationen nacheinander. Solche Symmetriegruppen, insbesondere die stetigen Lügengruppen, spielen in vielen wissenschaftlichen Disziplinen eine wichtige Rolle. Matrixgruppen werden zum Beispiel verwendet, um Naturgesetze die zugrunde liegen spezielle Relativitätstheorie und Symmetriephänomene im molekularen Chemie, verstehen.

Das Konzept einer Gruppe entstand aus dem Studium von Gleichungen. Evariste Galois in den 1830er Jahren war einer der Mathematiker, die dies berechneten. Die Theorie, die verbindet Polynome und Gruppen, ist nach ihm benannt. Nach Beiträgen aus anderen Bereichen, wie z Zahlentheorie und der Geometrie, nahm der Gruppenbegriff seine allgemeine Form in der Mathematik an, und die Gruppentheorie erhielt um 1870 eine solide Grundlage. Um Gruppen zu untersuchen, haben Mathematiker mehrere Konzepte definiert, die es ermöglichen, Gruppen in kleinere, verständlichere Teile aufzuteilen, wie z Untergruppen, Quotientengruppen und einzelne Gruppen. Neben den abstrakten Eigenschaften von Gruppen untersuchen Gruppentheoretiker auch die verschiedenen Möglichkeiten, wie eine Gruppe konkret ausgedrückt werden kann (ihr Gruppenvertretungen), beide von a theoretisch wie ein rechnerisch Standpunkt. Eine besonders reiche Theorie der endliche Gruppen entwickelt, die in der Klassifikation endlicher einfacher Gruppen, die 1983 fertiggestellt wurde. Seit Mitte der 1980er Jahre ist die geometrische Gruppentheorie, Das endlich generierte Gruppen Das Studium geometrischer Objekte ist zu einem besonders aktiven Forschungsgebiet innerhalb der Gruppentheorie.

Einführungsbeispiel

Eine der bekanntesten Gruppen ist die Sammlung von ganze Zahlen${displaystyle mathbb {Z} }$, die aus den Zahlen besteht

${Anzeigestil ldots ,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,ldots}$^[3]

Die folgenden Eigenschaften der ganzen Zahlen Zusatz dienen als Modell für die abstrakten Gruppenaxiome, die in der folgenden Definition angegeben sind.

1. Für jeweils zwei ganze Zahlen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$, ist der Summe${Anzeigestil a b}$ auch eine ganze Zahl. Mit anderen Worten, das Addieren zweier Ganzzahlen kann niemals ein Ergebnis erzeugen, das nicht auch eine Ganzzahl ist. Diese Eigenschaft ist bekannt als Geschlossenheit unter dem Operation Zusatz.
2. Für alle ganzen Zahlen ${Anzeigestil a, b}$ und ${Anzeigestil c}$ ist ${Anzeigestil (a b) c = a (b c)}$. In Worten ausgedrückt, die erste Addition von ${Anzeigestil a}$ Biene ${displaystyle b}$, und fügen Sie dann das Ergebnis hinzu ${Anzeigestil c}$ Addieren, ergibt das gleiche Endergebnis wie Addieren ${Anzeigestil a}$ in der Summe von ${displaystyle b}$ und ${Anzeigestil c}$; eine Eigenschaft, die als bekannt ist Assoziativität.
3. Für jede ganze Zahl ${Anzeigestil a}$ ist ${Anzeigestil 0 a=a 0=a}$. Die Nummer Null wird es sein Identitätselement der Operation wird als Addition bezeichnet, da das Hinzufügen von Null zu einer ganzen Zahl dieselbe ganze Zahl zurückgibt.
4. Für jede ganze Zahl ${Anzeigestil a}$ gibt es eine ganze Zahl ${displaystyle b}$, so dass ${Anzeigestil a b=b a=0}$. Die ganze Zahl ${displaystyle b}$ wird es sein inverses Element der ganzen Zahl ${Anzeigestil a}$ benannt und in der Regel bezeichnet von ${displaystyle -a}$ (abzüglich a).

Definition

Eine Gruppe ${Anzeigestil(G,*)}$ wird von einem Nicht-leere Sammlung${Anzeigestil G}$ mit einem Assoziativ binäre Operation${displaystyle *:Gimes G oder G}$, eine zum Bearbeiten neutrales Element${displaystyle e}$ und bei jedem Element${Anzeigestil ain G}$ eine zum Bearbeiten inverses Element${Displaystil a^{-1}}$.

Ausführlicher formuliert:

Eine Gruppe ist a Sammlung${Anzeigestil G}$, zusammen mit a Operation${Anzeigestil *}$ , die alle zwei Elemente${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ verbindet sich zu einem anderen Element ${displaystyle a*bin G}$. Das Symbol ${Anzeigestil *}$ ist ein allgemeiner Platzhalter für eine konkrete gegebene Operation, wie die obige Addition. Das Set und die Operation müssen vier Anforderungen erfüllen, die zusammen als . bekannt sind Gruppenaxioms:^[4]

Nähe

Für alle ${displaystyle a,bin G}$ ist das ergebnis ${Anzeigestil a*b}$ des Konzernbetriebs auch in ${Anzeigestil G}$.

Assoziativität

Für alle ${Anzeigestil a,b,cin G}$ die Beziehung gilt: ${Anzeigestil (a*b)*c=a*(b*c)}$.

Identitätselement

Es gibt ein Element ${displaystyle ein G}$, damit für alle Elemente ${Anzeigestil ain G}$ zählt das ${Anzeigestil e*a=a*e=a}$

Inverses Element

Für jedes ${Anzeigestil ain G}$ Gibt es ein Element? ${displaystyle a^{-1}in G}$, für die: ${Anzeigestil a*a^{-1}=a^{-1}*a=e}$.

Beachten Sie, dass eine Gruppe nicht unbedingt kommutativ sein müssen, d.h. es ist nicht notwendig, dass für alle ${displaystyle a,bin G}$ zählt das ${Anzeigestil a*b=b*a}$. Ist dies der Fall, spricht man von a kommutativ oder abelsche Gruppe (benannt nach dem Mathematiker Niels Abel).

Weiterhin wird unterschieden zwischen endlich und unendliche Gruppen.

Beispiel 2: eine Symmetriegruppe

Das Symmetrien (was bedeutet, Drehungen und Reflexionen) von a Quadrat eine Gruppe bilden, die Diedergruppe heißt und wird bezeichnet mit ${displaystyle mathrm {D} _{4}}$.^[5] Die Diedergruppe hat die folgenden acht Symmetrien:

${displaystyle mathrm {id} }$ (unverändert)	${displaystyle r_{1}}$ (Drehung um 90° im Uhrzeigersinn)	${displaystyle r_{2}}$ (Drehung um 180° im Uhrzeigersinn)	${displaystyle r_{3}}$ (270° Drehung im Uhrzeigersinn)
${displaystyle f_{v}}$ (vertikaler Flip)	${displaystyle f_{h}}$(horizontaler Flip)	${displaystyle f_{d}}$ (diagonaler Schlag)	${displaystyle f_{c}}$ (Gegendiagonale Flip)
Die Elemente der Symmetriegruppe des Quadrats (${displaystyle mathrm {D} _{4}}$). Die Scheitelpunkte sind farbig und nummeriert, nur um die Operationen zu visualisieren.

• das identisches Bild, was alles unverändert lässt, bezeichnet mit id;
• Drehungen des Quadrats 90° nach rechts, 180° nach rechts und 270° im Uhrzeigersinn, jeweils bezeichnet mit ${displaystyle r_{1},r_{2}}$ und ${displaystyle r_{3}}$;
• Reflexionen über die vertikale und horizontale Mittellinie (${displaystyle f_{h}}$ und ${displaystyle f_{v}}$) oder von den beiden Diagonalen (${displaystyle f_{d}}$ und ${displaystyle f_{c}}$).

Beliebige zwei Symmetrien ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ könnte sein zusammengesetztd.h. nacheinander angewendet. Das Ergebnis der ersten ${Anzeigestil a}$ ausführen und dann ${displaystyle b}$ wird symbolisch von rechts nach links geschrieben als${displaystyle bcirc a}$ ("passen Sie die Symmetrie an ${displaystyle b}$ nach zuerst die Symmetrie ${Anzeigestil a}$ durchgeführt". Die Notation "von rechts nach links" leitet sich von der Zusammensetzung der Funktionen).Das Gruppentisch rechts die Ergebnisse aller möglichen Symmetriezusammensetzungen. Die 270° Drehung im Uhrzeigersinn (${displaystyle r_{3}}$) und dann horizontal spiegeln (${displaystyle f_{h}}$) entspricht einer Spiegelung über die Diagonale (${displaystyle f_{d}}$). Mit den obigen Symbolen, die in der Gruppentabelle blau dargestellt sind:

${displaystyle f_{d}=f_{h}circ r_{3}}$

Gruppentisch von ${displaystyle mathrm {D} _{4}}$

•	${displaystyle mathrm {id} }$	${displaystyle r_{1}}$	${displaystyle r_{2}}$	${displaystyle r_{3}}$	${displaystyle f_{v}}$	${displaystyle f_{h}}$	${displaystyle f_{d}}$	${displaystyle f_{c}}$
${displaystyle mathrm {id} }$	${displaystyle mathrm {id} }$	${displaystyle r_{1}}$	${displaystyle r_{2}}$	${displaystyle r_{3}}$	${displaystyle f_{v}}$	${displaystyle f_{h}}$	${displaystyle f_{d}}$	${displaystyle f_{c}}$
${displaystyle r_{1}}$	${displaystyle r_{1}}$	${displaystyle r_{2}}$	${displaystyle r_{3}}$	${displaystyle mathrm {id} }$	${displaystyle f_{c}}$	${displaystyle f_{d}}$	${displaystyle f_{v}}$	${displaystyle f_{h}}$
${displaystyle r_{2}}$	${displaystyle r_{2}}$	${displaystyle r_{3}}$	${displaystyle mathrm {id} }$	${displaystyle r_{1}}$	${displaystyle f_{h}}$	${displaystyle f_{v}}$	${displaystyle f_{c}}$	${displaystyle f_{d}}$
${displaystyle r_{3}}$	${displaystyle r_{3}}$	${displaystyle mathrm {id} }$	${displaystyle r_{1}}$	${displaystyle r_{2}}$	${displaystyle f_{d}}$	${displaystyle f_{c}}$	${displaystyle f_{h}}$	${displaystyle f_{v}}$
${displaystyle f_{v}}$	${displaystyle f_{v}}$	${displaystyle f_{d}}$	${displaystyle f_{h}}$	${displaystyle f_{c}}$	${displaystyle mathrm {id} }$	${displaystyle r_{2}}$	${displaystyle r_{1}}$	${displaystyle r_{3}}$
${displaystyle f_{h}}$	${displaystyle f_{h}}$	${displaystyle f_{c}}$	${displaystyle f_{v}}$	${displaystyle f_{d}}$	${displaystyle r_{2}}$	Ich würde	${displaystyle r_{3}}$	${displaystyle r_{1}}$
${displaystyle f_{d}}$	${displaystyle f_{d}}$	${displaystyle f_{h}}$	${displaystyle f_{c}}$	${displaystyle f_{v}}$	${displaystyle r_{3}}$	${displaystyle r_{1}}$	${displaystyle mathrm {id} }$	${displaystyle r_{2}}$
${displaystyle f_{c}}$	${displaystyle f_{c}}$	${displaystyle f_{v}}$	${displaystyle f_{d}}$	${displaystyle f_{h}}$	${displaystyle r_{1}}$	${displaystyle r_{3}}$	${displaystyle r_{2}}$	${displaystyle mathrm {id} }$
Die Elemente ${displaystyle mathrm {id} ,r_{1},r_{2}}$ und ${displaystyle r_{3}}$ bilden eine Untergruppe, die rosa (oben links) gekennzeichnet ist. Ein links und ein rechts Co-Klasse dieser Untergruppe wird in Grün (in der letzten Zeile) bzw. in Gelb (in der letzten Spalte) angezeigt.

Angesichts dieser Symmetrien und der beschriebenen Operation können die Gruppenaxiome wie folgt verstanden werden:

1. Das Axiom der Geschlossenheit verlangt, dass die Komposition ${displaystyle bcirc a}$ von zwei Symmetrien ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ ist auch eine Symmetrie. Ein weiteres Beispiel für die Gruppenoperation ist

   ${displaystyle r_{3}circ f_{c}=f_{v}}$,

   d.h. eine Drehung um 270° im Uhrzeigersinn, nachdem das Quadrat diagonal über die gegenüberliegende Diagonale gedreht wurde (${displaystyle f_{c}}$). Tatsächlich ergibt jede andere Kombination zweier Symmetrien eine neue Symmetrie. Davon können Sie sich überzeugen, indem Sie dies für jede Zusammensetzung in der Gruppentabelle überprüfen.
2. Die Assoziativitätsbeschränkung bezieht sich auf die Anordnung von mehr als zwei Symmetrien: bei gegebenen drei Elementen ${Anzeigestil a}$, ${displaystyle b}$ und ${Anzeigestil c}$ von ${displaystyle mathrm {D} _{4}}$, es gibt zwei Möglichkeiten, "${Anzeigestil a}$ als ${displaystyle b}$ als ${Anzeigestil c}$" zu berechnen. Es erforderte, dass

   ${Anzeigestil (Umkreis b) Umkreis c = Umkreis (Umkreis c)}$

   bedeutet, dass die Komposition der drei Elemente ist unabhängig von der Priorität der Operationen, d.h. zuerst komponieren ${Anzeigestil c}$ laufen und dann ${Anzeigestil a}$ nach dem ${displaystyle b}$ auf das Ergebnis von ${Anzeigestil c}$, entspricht ${Anzeigestil a}$ durchführen nach der Komposition von perform ${displaystyle b}$ und ${Anzeigestil c}$. Das kann man zum Beispiel überprüfen ${displaystyle (f_{d}circ f_{v})circ r_{2}=f_{d}circ (f_{v}circ r_{2})}$ mit der Gruppentisch rechts

   ${displaystyle (f_{d}circ f_{v})circ r_{2}=r_{3}circ r_{2}=r_{1}}$, was gleich ist

   ${displaystyle f_{d}circ (f_{v}circ r_{2})=f_{d}circ f_{h}=r_{1}}$

3. Das Identitätselement ist die Symmetrie ${displaystyle mathrm {id} }$, was alles unverändert lässt: für jede Symmetrie ${Anzeigestil a}$ ist ${displaystyle mathrm {id} }$ durchführen nach ${Anzeigestil a}$, oder ${Anzeigestil a}$ nach dem ${displaystyle mathrm {id} }$, gleich allein ${Anzeigestil a}$ Ausführen. In symbolischer Form,

   ${displaystyle mathrm {id} circ a=a}$,

   ${displaystyle acirc mathrm {id} = a}$

4. Die Umkehrung eines Elements macht die Transformation dieses Elements rückgängig. Jede Symmetrie kann rückgängig gemacht werden. Die Identität ${displaystyle mathrm {id} }$, die Flips ${displaystyle f_{h},f_{v},f_{d},f_{c}}$ und die Drehung um 180° ${displaystyle r_{2}}$ sind ihre eigene Umkehrung, da diese Operationen zweimal hintereinander das Quadrat mit der ursprünglichen Ausrichtung zurückgeben. Die Drehungen ${displaystyle r_{3}}$ und ${displaystyle r_{1}}$ sind invers zueinander, denn eine Drehung um einen Winkel und eine Drehung um denselben Winkel in die andere Richtung lässt das Quadrat unverändert. Bei Symbolen,

   ${displaystyle f_{h}circ f_{h}=mathrm {id} }$

   ${displaystyle f_{v}circ f_{v}=mathrm {id} }$

   ${displaystyle f_{c}circ f_{c}=mathrm {id} }$

   ${displaystyle f_{d}circ f_{d}=mathrm {id} }$

   ${displaystyle r_{2}circ r_{2}=mathrm {id} }$

   ${displaystyle r_{3}circ r_{1}=r_{1}circ r_{3}=mathrm {id} }$

Im Gegensatz zu der oben diskutierten Gruppe der ganzen Zahlen, bei der die Reihenfolge der Operation keine Rolle spielt, ist dies in D₄ wichtig, zum Beispiel:

${displaystyle f_{h}circ r_{1}=f_{c}}$,

aber

${displaystyle r_{1}circ f_{h}=f_{d}}$

Mit anderen Worten: ${displaystyle mathrm {D} _{4}}$ ist nein abelsche Gruppe. Dies macht die Gruppenstruktur schwieriger als bei der zuvor eingeführten Gruppe von ganzen Zahlen.

Beispiel 3

Die Gruppe aller Permutationen von a Warteschlange von n Elementen heißt die symmetrische Gruppe${displaystyle {mathcal {S}}_{n}}$. Der Name dieser Gruppe leitet sich nicht von der Symmetrie in der Gruppe ab.

Notation

Die Gruppenbearbeitung erfolgt normalerweise mit dem multiplikativ Notation:

• Anstatt von ${Anzeigestil a*b}$ man merkt: ${displaystyle acdotb}$ oder einfach ${displaystyle ab}$, und nennt das es Produkt von ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$.
• Das neutrale Element wird als 1 oder als ${displaystyle e}$ notiert.
• Die Umkehrung eines Elements ${Anzeigestil a}$ wird notiert als ${Displaystil a^{-1}}$.

Wenn die Operation kommutativ ist, wird in vielen Fällen von Zusatzstoff Notation:

• Anstatt von ${Anzeigestil a*b}$ man merkt: ${Anzeigestil a b}$, und nennt dies die Summe von ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$.
• Das neutrale Element wird als 0 notiert.
• Die Umkehrung eines Elements ${Anzeigestil a}$ wird notiert als ${displaystyle -a}$ und bezeichnet als das Gegenteil von ${Anzeigestil a}$.
• ${Anzeigestil a(-b)}$ wird auch notiert als ${Anzeigestil a-b}$.

Geschichte

sehen Geschichte der Gruppentheorie für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Das moderne Konzept einer abstrakten Gruppe entwickelte sich aus verschiedenen Bereichen der Mathematik^[6][7][8]. Die ursprüngliche Motivation für die Gruppentheorie war die Suche nach Lösungen von Polynomgleichungen der Klasse 5 und höher. Der französische Mathematiker des 19. Jahrhunderts Evariste Galois, die auf früheren Arbeiten von Paolo Ruffinic und Joseph-Louis Lagrange, gab ein Kriterium für die Löslichkeit bestimmter Polynomgleichungen in Form von Symmetriegruppen seine Möhren (Lösungen). Die Elemente einer solchen Galois-Gruppe entsprechen bestimmten Permutationen der Wurzeln. Galois' Ideen wurden zunächst von seinen Zeitgenossen abgelehnt und seine Werke erst mehr als fünfzehn Jahre nach seinem frühen Tod veröffentlicht.^[9][10]. Allgemeiner Permutationsgruppen wurden hauptsächlich untersucht von Augustin Louis Cauchy. Arthur CayleysZur Gruppentheorie in Abhängigkeit von der symbolischen Gleichung θ^nein = 1 (Zur Gruppentheorie, abhängig von der symbolischen Gleichung θ^nein = 1) (1854) gibt die erste abstrakte Definition von a endliche Gruppe^[11].

Das Geometrie war ein zweiter Bereich, in dem vor allem Gruppen systematisch eingesetzt wurden Symmetriegruppen, im Rahmen Felix KleinsErlanger Programm von 1872^[12]. Nach "neuen Geometrien", wie dem hyperbolisch- und der projektive Geometrie entstanden war, nutzte Klein die Gruppentheorie, um diese "neuen Geometrien" kohärenter zu organisieren. Weitere Förderung dieser Ideen, erklärt Sophus Lüge 1884 wurde die Grundlage für das Studium der Lügengruppen^[13]

Das dritte Feld, das zur Gruppentheorie beitrug, war die Zahlentheorie. Von bestimmten abelsche Gruppe Strukturen wurde bereits implizit verwendet in Carl Friedrich Gauß' Disquisitiones Arithmeticae von 1798 und expliziter von Leopold Kronecker^[14]. Im Jahr 1847. führte Ernst Kummer frühe Versuche, Der letzte Satz von Fermat sich durch die Entwicklung von zu einem Höhepunkt erweisen Gruppen, die die Faktorisierung in Primzahlen beschreiben^[15]

Die Konvergenz dieser verschiedenen Quellen zu einer einheitlichen Gruppentheorie gestartet in 1870 mit Camille JordansTraité des Substitutions et des équations algebriques^[16].Walther von Dyck (1882) war der erste, der eine moderne Definition einer abstrakten Gruppe vorschlug^[17] auf. Seit Beginn des 20. Jahrhunderts erlangten Gruppen durch die Pionierarbeit von Ferdinand Georg Frobenius und William Burnside, der im Bereich der Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Richard BrauersModulare Darstellungstheorie und die Artikel von Issai Schur^[18] Die Theorie der Lügengruppen und allgemeiner die lokal kompakte Gruppen wurde propagiert von Hermann Weyl, Elie Cartan und viele andere^[19]. Ihr algebraisches Gegenstück, die Theorie der algebraische Gruppen, wurde erstmals in den späten 1930er Jahren angenommen Claude Chevalley entworfen und später mit wichtigen Arbeiten von Armand Borel und Jacques Titten^[20].

Es durch die Universität von Chicago Das im akademischen Jahr 1960-61 organisierte "Gruppentheoriejahr" brachte eine Reihe prominenter Gruppentheoretiker zusammen, wie z Daniel Gorenstein, John Griggs Thompson und Walter Fakt zusammen. Dies legte den Grundstein für eine Zusammenarbeit, die 1982 mit dem Beitrag vieler anderer Mathematiker zur Klassifikation aller endlichen einfachen Gruppen führen sollte. Dieses Projekt übertraf alle bisherigen mathematischen Bemühungen durch seine schiere Größe, sowohl in der Länge des Beweises als auch in der Zahl der Forscher. Es wird noch geforscht, um den Nachweis dieser Klassifizierung zu vereinfachen^[21]. Die Gruppentheorie ist heute noch ein sehr aktives Gebiet der Mathematik mit entscheidendem Einfluss auf viele andere Zweige der Mathematik.

Beispiele

• Das ganze Zahlen mit dem Zusatz, notiert als (${displaystyle mathbb {Z} }$, ), ist ein abelsche Gruppe.
• Das Rationale Zahlen (ohne Null) mit der Multiplikation (${displaystyle mathbb {Q} setminus {0}}$, ·) ist ein abelsche Gruppe.
• Das natürliche Zahlen mit dem Zusatz (${displaystyle mathbb {N} }$, ) ist Nein Gruppe, weil zum Beispiel 2 keine Inverse hat, weil es keine natürliche Zahl gibt, die zu 2 addiert 0 ergibt.
• Permutationsgruppen und Matrixgruppen.
• Gewisse Wendungen und Übersetzungen bilden eine Gruppe, die in den Lehren der Symmetrie, beispielsweise Translationssymmetrie. Stetige Symmetrien, wie z Rotationssymmetrie, werden modelliert von Lügengruppen.

Einfache Funktionen

Grundlegende Fakten über alle Gruppen, die direkt aus den Gruppenaxiomen gewonnen werden können, werden in der Regel unter den elementare Gruppentheorie.^[22]

Zwei wichtige Konsequenzen der Gruppenaxiome sind, dass eine Gruppe genau ein Identitätselement enthält und dass jedes Element genau ein inverses Element hat. Es ist daher üblich, von zu sprechen es Identitätselement und das Umkehrung eines Elements.^[23]

Punkt für Punkt aufgelistet, gelten die folgenden einfachen Eigenschaften:

• Eine Gruppe hat genau ein neutrales Element.
• Jedes Element hat genau eine Inverse.
• Die Inverse eines Produkts ist gleich dem Produkt der Inversen in umgekehrter Reihenfolge, d. h.: ${Anzeigestil (a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}}$.
• Wiederholte Bearbeitungen können ohne Klammern notiert werden. Aufgrund der Assoziativität ist der Ausdruck ${displaystyle a_{1}*a_{2}*ldots *a_{n}}$ eindeutig.

Beweis der Einzigartigkeit des neutralen Elements

Annehmen ${displaystyle e'}$ ist auch ein neutrales Element. Dann ist:

${displaystyle e'*e=e}$,

aber da e selbst ein neutrales Element ist, gilt auch:

${displaystyle e'*e=e'}$,

Ergebnis:

${displaystyle e'=e}$.

Beweis der Eindeutigkeit der Inversen

Paar ${displaystyle a,bin G}$ sind beide Umkehrungen von ${Anzeigestil xin G}$. Dann ist:

${Anzeigestil x*a=a*x=e=x*b=b*x}$,

So

${Anzeigestil a=a*e=a*(x*b)=(a*x)*b=e*b=b}$.

Anscheinend ${Anzeigestil x}$ nur eine eindeutige Umkehrung.

Von dem Einzigartigkeit der Umkehrung folgt:

${displaystyle a*x=eRightarrow x=a^{-1}*e}$

und

${displaystyle x*a=eRightarrow x=e*a^{-1}}$.

Implikation der Assoziativitätseigenschaft

Wiederholt Anwendung des Axioms, dass die Operation in der Gruppe assoziativ ist, zeigt, dass die Eindeutigkeit von

${Anzeigestil a*b*c=(a*b)*c=a*(b*c)}$

gilt generell auch bei mehr als drei Elementen. Denn dies impliziert, dass Klammern kann überall innerhalb eines solchen Begriffsbereichs eingefügt werden, Klammern werden normalerweise weggelassen^[24].

Einteilung

In einer Gruppe ist es möglich Einteilung ausgetragen werden; mit gegebenen Elementen ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ und der Gruppe ${Anzeigestil G}$ gibt es genau eine lösung? ${Anzeigestil xin G}$ des Vergleich${Anzeigestil x*a=b}$^[23]. Durch legale Multiplikation mit ${Displaystil a^{-1}}$ folgt der Lösung ${Anzeigestil x=x*a*a^{-1}=b*a^{-1}}$. Ebenso gibt es genau eine Lösung ${Anzeigestil Yin G}$ der Gleichung ${Anzeigestil a*y=b}$, nämlich ${displaystyle y=a^{-1}*b}$. Im Allgemeinen kommen ${displaystyle x=b*a^{-1}}$ und ${displaystyle y=a^{-1}*b}$ nicht übereinstimmen.

Dämpfung der Gruppenaxiome

Die Axiome können für jedes Element geschwächt werden ${Anzeigestil a}$ lediglich die Existenz einer Linksinversen zu fordern. In diesem Fall kann es immer noch nachgewiesen werden^[25] dass die Umkehrung tatsächlich zweiseitig ist. Wenn nämlich ${displaystyle b}$ eine linke Umkehrung von ${Anzeigestil a}$ ist, gilt

${Anzeigestil a*b=e*a*b=b^{-1}*b*a*b=b^{-1}*e*b=e}$,

Zeigt das ${displaystyle b}$ auch die rechte Inverse von ${Anzeigestil a}$ ist.

Auch hier ist nur das nötig ${displaystyle e}$ ist eine linke Einheit, d. h. für alle ${Anzeigestil a}$ gilt: ${displaystyle e*a=a}$. Dann natürlich ${displaystyle e}$ auch invers rechts, denn für alle ${Anzeigestil a}$ ist:

${Anzeigestil a*e=a*a^{-1}*a=e*a=a}$

Grundlegendes Konzept

Um Gruppen auf einer Ebene jenseits der bloßen symbolischen Manipulation zu verstehen, müssen mehr strukturelle Konzepte verwendet werden. Allen folgenden Konzepten liegt eine konzeptionelle Prämisse zugrunde: die von Gruppen bereitgestellte Struktur zu nutzen, eine Struktur, die in "strukturlos" nicht vorhanden ist Kollektionen, gruppenbezogene Konstrukte kompatibel mit der Gruppenbearbeitung. Diese Kompatibilität äußert sich in den folgenden Begriffen auf unterschiedliche Weise. Zum Beispiel kann man Gruppen miteinander in Beziehung setzen mit Funktionen Gruppenhomomorphismen genannt. Nach diesem Grundsatz sind sie verpflichtet, die Konzernstrukturen im genauen Sinne zu respektieren. Die Struktur der Gruppen kann auch verstanden werden, indem man Gruppen in Stücke zerlegt. Diese Stücke werden Untergruppen und Quotientengruppen genannt. Das Prinzip "Struktur erhalten" - ein wiederkehrendes Thema in der gesamten Mathematik - ist ein Beispiel für die Arbeit mit a Kategorie, in diesem Fall die Kategorie von Gruppen.

Isomorphismus

Zwei Gruppen heißen isomorph, wenn eine Gruppenisomorphismus zwischen ihnen besteht. Isomorphe Gruppen haben grundsätzlich die gleiche Struktur.

Untergruppen

sehen Untergruppe (Mathematik) für den Hauptartikel zu diesem Thema.

EIN Teilmenge${Anzeigestil H}$ einer Gruppe ${displaystyle(G,*)}$ wer mit derselben Gruppenbearbeitung eine Gruppe erstellt ${displaystyle(H,*)}$ Formen, heißt eine Untergruppe von ${Anzeigestil(G,*)}$.^[26]

Sekundarstufe

sehen Zweite Klasse für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eine Untergruppe ${Anzeigestil H}$ einer Gruppe ${displaystyle(G,*)}$ induziert a Äquivalenzrelation auf ${Anzeigestil G}$, durch:

${Anzeigestil asim b}$ wenn es einen gibt ${Anzeigestil hin H}$ ist so ${displaystyle b=a*h}$.

Das Äquivalenzklassen die Linke seinCo-Klassen von ${Anzeigestil a}$ erwähnt. Es sind die Teilmengen ${displaystyle a*H={a*h|hin H}}$.^[27].

In ähnlicher Weise wurden auch rechte Unterklassen definiert.

Durch die Betrachtung der Co-Klassen entfällt die Wirkung der Elemente in der betreffenden Untergruppe.

Faktorgruppen

sehen Faktorgruppe für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Wenn eine Untergruppe a . ist normaler sub ohne die interne Struktur dieser Untergruppe durch Berücksichtigung ihrer Co-Klassen zu ignorieren, kann als Gruppe strukturiert werden, die sogenannte Faktorgruppe oder Quotientengruppe, notiert als ${Anzeigestil G/N}$.^[28]

EIN normales sub, oder normale Untergruppe, ${Displaystil N}$ einer Gruppe ${displaystyle(G,*)}$ ist eine Untergruppe mit der Eigenschaft, dass für alle ${displaystyle Gin G}$ und ${Anzeigestil hin N}$ gilt: :${displaystyle g^{-1}*h*gin N}$.

Beispiel

•	R	SIE
R	R	SIE
SIE	SIE	R
Gruppentabelle der Faktorgruppe ${displaystyle D_{4}/R}$.

Die Untergruppe ${Anzeigestil R}$ von ${displaystyle D_{4}}$ die aus den Drehungen besteht ${displaystyle e,r_{1},r_{2}r_{3}}$ ist ein normaler Sub. Die Faktorgruppe ${displaystyle D_{4}/R}$ besteht aus zwei Elementen, nämlich ${Anzeigestil R}$ selbst, das das Identitätselement darstellt und ${Displaystil U=f_{v}R}$. Die Gruppenoperation auf den Quotienten ist in der nebenstehenden Tabelle dargestellt. Beispielsweise:

${Displaystil UU=f_{v}Rf_{v}R=(f_{v}f_{v})R=R}$

Sowohl die Untergruppe ${Anzeigestil R}$ wenn die entsprechende Quotientengruppe jedoch abels ist ${displaystyle D_{4}}$ selbst ist nicht abelianisch.

Beispiele und Anwendungen

Die Fundamentalgruppe von a eben minus eins Punkt (fett) besteht aus Schleifen um diesen fehlenden Punkt. Diese Gruppe ist isomorph mit dem ganze Zahlen.

Beispiele und Verwendungen von Gruppen gibt es zuhauf. Ein Ausgangspunkt ist die oben vorgestellte Gruppe z des ganze Zahlen mit Zusatz als Gruppenbearbeitung. Wenn statt Zugabe multiplizieren nimmt man Gruppenoperation, erhält man multiplikative Gruppen. Diese multiplikativen Gruppen sind Vorläufer wichtiger Konstruktionen im abstrakte Algebra.

Gruppen werden auch in vielen anderen mathematischen Teilgebieten verwendet. Mathematische Objekte werden oft erforscht, indem Gruppen mit diesen Objekten kombiniert werden assoziieren und studieren Sie dann die Eigenschaften der entsprechenden Gruppen. Henri Poincare kam zum Beispiel auf, was ist jetzt der algebraische Topologie erwähnt wird, durch die Einführung des grundlegende Gruppe^[29]. Durch diese Verbindung werden topologische Eigenschaften, wie z Nähe und Kontinuität in Eigenschaften von Gruppen übersetzt. Elemente der Fundamentalgruppe werden beispielsweise durch Schleifen dargestellt. Das untere Bild rechts zeigt einige Schleifen in einer Ebene minus einem Punkt. Die blaue Schleife wird wie Nullhomotoptop (und daher irrelevant), weil diese Schleife bis zu einem gewissen Punkt kontinuierlich ist kann schrumpfen. Das Vorhandensein des Lochs verhindert jedoch, dass die orangefarbene Schlaufe ebenfalls zu einem Punkt schrumpft. Die Grundgruppe der Fläche, aus der ein Punkt entfernt wurde, wird durch die orangefarbene Schleife (oder jede andere Schleife, die das Loch einmal umkreist) generiert Winde), unendlich zyklisch sein. Auf diese Weise erkennt die Fundamentalgruppe das Loch.

In neueren Anwendungen wirkt dieser Einfluss auch umgekehrt. Geometrische Konstruktionen mit gruppentheoretischem Hintergrund werden nun untersucht. In die gleiche Richtung, die geometrische Gruppentheorie Verwendung geometrischer Konzepte, zum Beispiel beim Studium von hyperbolische Gruppen.^[30] Andere Bereiche, in denen Gruppen eine entscheidende Rolle spielen, sind die algebraische Geometrie und der Zahlentheorie.^[31].

Neben den oben genannten theoretischen Anwendungen gibt es viele praktische Anwendungen von Gruppen. Kryptographie beruht beispielsweise auf einem auf abstrakter Gruppentheorie basierenden Ansatz, zusammen mit algorithmisch Kenntnisse, die von der Computergestützte Gruppentheorie, insbesondere wenn für endliche Gruppen^[32]. Anwendungen der Gruppentheorie beschränken sich nicht auf die Mathematik, einschließlich der Naturwissenschaften, wie z Physik, das Chemie und der Informatik Nutzen Sie das Konzept.

Zahlen

Viele Zahlensysteme, wie die der ganzen Zahlen und rationalen Zahlen, haben eine natürlich gegebene Gruppenstruktur. In einigen Fällen, wie bei rationalen Zahlen, führen sowohl Additions- als auch Multiplikationsoperationen zu einer Gruppenstruktur. Solche Zahlensysteme sind Vorläufer für allgemeinere algebraische Strukturen, bekannt als Ringe und Felder. Des Weiteren abstrakte Algebra Konzepte, wie z Module, Vektorräume und Algebras bilden auch Gruppen.

Ganze Zahlen

Die Gruppe der ganzen Zahlen ${displaystyle mathbb {Z} }$ unter dem Zusatz, bezeichnet mit ${displaystyle (mathbb {Z} ,, ,)}$, wurde oben beschrieben. Die ganzen Zahlen, mit der Operation stattdessen Multiplikation anstatt hinzuzufügen, ${displaystyle (mathbb {Z} ,,cdot ,)}$, Formen Nein Gruppe. Die Gruppenaxiome der Nähe, Assoziativität und Identität werden erfüllt, aber es gibt keine Umkehrung. Zum Beispiel die einzige Lösung der Gleichung ${Displaystil 2cdot b=1}$ ist ${displaystyle b=1/2}$, die keine ganze Zahl ist. Also nicht jedes Element von hat ${displaystyle mathbb {Z} }$ een (multiplicatieve) inverse.

Rationale getallen

Breuken ${displaystyle a/b}$ van gehele getallen, met ${displaystyle beq 0}$, staan bekend als rationale getallen${displaystyle mathbb {Q} }$. Onder de optelling is ${displaystyle (mathbb {Q} ,, ,)}$ een groep. Omdat het getal 0 geen multiplicatieve inverse heeft vormen de rationale getallen geen groep onder de vermenigvuldiging. Laat men de 0 weg, dan is er geen probleem: ${displaystyle (mathbb {Q} setminus {0},,cdot )}$ is een abelse groep.

De verwevenheid van de groepsbewerkingen optellen en vermenigvuldigen levert ingewikkeldere wiskundige structuren op die ringen worden genoemd en waarbij deling mogelijk is.

Modulair rekenen

Voor elk priemgetal${displaystyle p}$, levert modulair rekenen de multiplicatieve groep van gehele getallen modulo ${displaystyle p}$^[33]. Haar elementen zijn gehele getallen die niet deelbaar zijn door ${displaystyle p}$, modulop, dat wil zeggen dat twee getallen als gelijkwaardig worden beschouwd, indien hun verschil deelbaar is door ${displaystyle p}$. Deze groepen zijn van cruciaal belang voor de publieke sleutelcryptografie.

Cyclische groepen

Zie Cyclische groep en Abelse groep voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.

De 6e complexe eenheidswortels vormen een cyclische groep. z is een primitief element, maar z² is dit niet, omdat de oneven machten van z geen macht van z² zijn.

Een cyclische groep is een groep die wordt voortgebracht door één enkel element. Als de groepsbewerking als vermenigvuldiging wordt beschouwd, zijn alle elementen machten (zowel positieve als negatieve) van het voorbrengende element.^[34]. Is ${displaystyle a}$ een voortbrengend element dan bestaat de groep uit ${displaystyle {ldots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},e,a,a^{2},a^{3},ldots }}$. Een cyclische groep van eindige orde ${displaystyle a}$ bestaat uit ${displaystyle {e,a,a^{2},a^{3},ldots ,a^{n-1}}}$. Dit verklaart ook de term 'cyclisch'. Sommige cyclische groepen hebben, ondanks de naam "cyclische groep", een oneindig aantal elementen. In deze groepen zijn voor elk element ${displaystyle a}$ ongelijk aan het neutrale element, alle machten van ${displaystyle a}$ van elkaar verschillend. Een oneindige cyclische groep is isomorf met ${displaystyle (mathbb {Z} ,, ,)}$, de groep van de gehele getallen onder optelling^[35]. Aangezien deze groep abels is, is elke oneindige cyclische groep dit ook.

Symmetriegroepen

Zie Symmetriegroep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

De (2,3,7) driehoeksgroep, een hyperbolische groep, werkt in op deze betegeling van het hyperbolische vlak.

Symmetriegroepen zijn groepen die bestaan uit symmetrieën van gegeven wiskundige objecten - al of niet van meetkundige aard, zoals de symmetriegroep van het vierkant of van algebraïsche aard, zoals veeltermvergelijkingen en hun oplossingen^[36]. In conceptuele zin kan groepentheorie worden opgevat als de studie van symmetrie. In de wiskunde vereenvoudigden symmetrieën de studie van meetkundige of analytische objecten aanzienlijk. Van een groep zegt men dat deze op een ander wiskundig object Xinwerkt, als er voor elk groepselement in overeenstemming met de groepswetten een bijbehorende bijectie van X is. In de illustratie links werkt een element van orde 7 van de (2,3,7) driehoeksgroep in op de betegeling door de gemarkeerde verwrongen driehoeken (en de anderen ook) te verwisselen. Door een groepsbewerking raakt het groepspatroon verbonden met de structuur van het object, waarop de groep inwerkt.

In scheikundige deelgebieden, zoals de kristallografie, beschrijven ruimte- en puntgroepenmoleculaire- en kristalsymmetrieën. Deze symmetrieën liggen ten grondslag aan het scheikundige en natuurkundige gedrag van deze systemen. De groepentheorie vereenvoudigt de kwantummechanische analyse van deze eigenschappen^[37]. Groepentheorie wordt bijvoorbeeld gebruikt om aan te tonen dat optische overgangen tussen bepaalde kwantumniveaus niet kunnen optreden, simpelweg omdat de symmetrie van de betrokken toestanden dit niet toestaat.

Niet alleen zijn groepen nuttig om de implicaties van symmetrieën in moleculen te beoordelen, maar verrassend genoeg voorspellen zij ook dat moleculen soms hun symmetrie kunnen veranderen. Het Jahn-Teller-effect is een vervorming van een molecuul van hoge symmetrie, wanneer deze molecule een bepaalde grondtoestand van lagere symmetrie aanneemt uit een verzameling van mogelijke grondtoestanden, die aan elkaar zijn gerelateerd door de symmetrie-operaties van dit molecuul.^[38][39]

Op gelijkaardige wijze helpt de groepentheorie veranderingen in de natuurkundige eigenschappen te voorspellen, die plaatsvinden wanneer een materiaal een faseovergang ondergaat, bijvoorbeeld van een kubische naar een tetrahedrale kristallijne vorm. Een voorbeeld hiervan zijn ferro-elektrische materialen, waar de verandering van een para-elektrische naar een ferro-elektrische toestand optreedt bij de Curie-temperatuur. Deze verandering is gerelateerd aan een verandering van de hoger-symmetrische para-elektrische toestand naar de lager-symmetrische ferro-elektrische toestand. Dit gaat vergezeld door een zogenoemde zachte fonon modus, een vibrationeel roostermodus, die bij de faseovergang naar een nulfrequentie gaat^[40].

Zulke spontane symmetriebreking heeft verdere toepassing gevonden in de elementaire deeltjesfysica, waar haar voorkomen is gerelateerd aan de verschijning van Goldstone-bosonen.

Eindige symmetriegroepen, zoals de Mathieu-groepen worden gebruikt in de codeertheorie, die op zijn beurt wordt toegepast in foutcorrectie algoritmen voor verzonden data en in cd-spelers^[41]. Een andere toepassing is de differentiaal Galois-theorie, die functies karakteriseert, die antiafgeleiden van een voorgeschreven vorm hebben, en die daardoor groep-theoretische criteria geeft wanneer oplossingen van bepaalde differentiaalvergelijkingen zich al of niet goed-gedragen. Meetkundige eigenschappen, die stabiel blijven onder groepsbewerkingen, worden onderzocht in de meetkundigeinvariantentheorie^[42]

Symmetrie

Iedere groep heeft een bepaalde symmetrie. Dat betekent dat bij twee geconjugeerde elementen ${displaystyle a}$ en ${displaystyle b}$ van de groep ${displaystyle G}$ een permutatie ${displaystyle pi }$ van ${displaystyle G}$ bestaat die ${displaystyle a}$ op ${displaystyle b}$ afbeeldt, zodanig dat ${displaystyle G}$ en ${displaystyle pi (G)}$ isomorf zijn. Op die manier is ${displaystyle G}$ symmetrisch.

Algemene lineaire groepen en representatietheorie

Zie Algemene lineaire groep en Representatietheorie voor de hoofdartikelen over dit onderwerp.

Twee vectoren (de linker afbeelding) vermenigvuldigd met matrices (de middelste en de rechtse illustraties). De middelste afbeelding geeft een rotatie van 90° met de klok mee aan, terwijl de meest rechtse de x-coördinaat met een factor 2 uitrekt.

Matrixgroepen bestaan uit matrices samen met de operatie matrixvermenigvuldiging. De algemene lineaire groep${displaystyle mathrm {GL} (n,mathbb {R} )}$ bestaat uit alle reële inverteerbare${displaystyle n imes n}$-matrices.^[43] Ondergroepen van een algemene lineaire groep noemt men matrixgroepen of lineaire groepen. De hierboven genoemde voorbeeld can een tweevlakshoekgroep kan worden gezien als een (zeer kleine) matrixgroep. Een andere belangrijke matrixgroep is de speciale orthogonale groep${displaystyle SO(n)}$. Deze groep beschrijft alle mogelijke rotaties in ${displaystyle n}$ dimensies. Via Euler-hoeken worden rotatiematrices gebruikt in de computergraphics.^[44]

Representatietheorie is zowel een toepassing van het begrip groep alsook belangrijk voor een dieper begrip van groepen.^[45][46] De theoie bestudeert een groep door haar groepsbewerkingen op andere ruimten te bestuderen. Een brede klasse van groepsrepresentaties zijn lineaire representaties, dat wil zeggen dat de groep inwerkt op een vectorruimte, zoals de driedimensionale Euclidische ruimte${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$. Een representatie van ${displaystyle G}$ op een ${displaystyle n}$-dimensionale reële vectorruimte is een groepshomomorfisme

${displaystyle ho :G o mathrm {GL} (n,mathbb {R} )}$.

van de groep naar de algemene lineaire groep. Op deze manier vertaalt de groepsbewerking, die ook abstract kan zijn gegeven, naar de vermenigvuldiging van matrices, waardoor deze toegankelijk wordt voor expliciete berekeningen.

Gegeven een groepsbewerking, geeft dit extra middelen om de wiskundige objecten, waarop de groep inwerkt, te bestuderen. Aan de andere kant levert het ook informatie over de groep op. Groepsrepresentatie is een ordenend principe in de theorie van de eindige groepen, de Lie-groepen, de algebraïsche groepen en de topologische groepen, vooral (lokaal) compacte groepen^[45][47].

Galoisgroepen

Zie Galoisgroep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Galoisgroepen zijn ontwikkeld om veeltermvergelijkingen te helpen oplossen door hun symmetrie-eigenschappen in beschouwing te nemen.^[48][49] De oplossingen van bijvoorbeeld de vierkantsvergelijking${displaystyle ax^{2} bx c=0}$ worden gegeven door

${displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$.

Het verwisselen van " " en "-" in deze uitdrukking, waardoor de twee oplossingen van de vergelijking worden verwisseld, kan als een (eenvoudige) groepsoperatie worden gezien.

Voor derdegraads- en vierdegraadsvergelijkingen zijn vergelijkbare formules bekend, maar deze bestaan in het algemeen niet voor vijfdegraadsvergelijkingen en hoger.^[50] Abstracte eigenschappen van Galoisgroepen geassocieerd met veeltermen (met name hun oplosbaarheid) geven een criterium voor veeltermen, waarvan alle oplossingen uit te drukken zijn door radicalen, dat wil zeggen oplossingen die zijn uit te drukken in een vorm, waarbij uitsluitend gebruik wordt gemaakt van optelling, vermenigvuldigen, en wortels, vergelijkbaar met de formule hierboven.^[51]

Dit probleem kan worden aangepakt door een verschuiving naar veldtheorie, waarbij men het splitsingsveld van een polynoom in beschouwing neemt. Moderne Galoistheorie veralgemeent het bovenstaande type Galoisgroepen van velduitbreidingen en legt - door middel van de hoofdstelling van de Galoistheorie - een precieze relatie tussen de velden en groepen vast, daarmee nogmaals de alomtegenwoordigheid van groepen in de wiskunde onderstrepend.

Eindige groepen

Zie Eindige groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een groep met een eindig aantal elementen wordt eindig genoemd. Het aantal elementen heet de orde van de groep^[52]. Een belangrijke klasse vormen de symmetrische groepen${displaystyle S_{N}}$, de groepen van permutaties van ${displaystyle N}$ verschillende letters. De symmetrische groep op 3 letters ${displaystyle S_{3}}$ bijvoorbeeld bestaat uit alle mogelijke verwisselingen van de drie letters ABC, dat wil zeggen bevat de elementen ABC, ACB, ..., tot CBA, in totaal 6 (3 faculteit) elementen. Deze klasse is van fundamenteel belang, aangezien volgens de stelling van Cayley elke eindige groep uitgedrukt kan worden als een ondergroep van een symmetrische groep ${displaystyle S_{N}}$ .

De orde van een element ${displaystyle a}$ in een groep ${displaystyle G}$ is het kleinste positieve gehele getal ${displaystyle n}$ waarvoor ${displaystyle a^{n}=a*a*ldots a=e}$.

In oneindige groepen hoeft een dergelijke ${displaystyle n}$ niet te bestaan, in welk geval men zegt dat de orde van ${displaystyle a}$ oneindig is. De orde van een element is gelijk aan de orde van de cyclische ondergroep die door dit element wordt gegenereerd.

De dihedrale groep Dih₄ is een eindige groep van orde 8. De orde van ${displaystyle r_{1}}$ is 4, evenals de orde van de ondergroep ${displaystyle R}$ die de groep genereert. De orde van de reflectie elementen ${displaystyle f}$ is 2. Beide orden zijn delers van 8, zoals voorspeld door de stelling van Lagrange.

Classificatie van eindige enkelvoudige groepen

Zie Classificatie van eindige enkelvoudige groepen voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Het streven naar een volledige indeling (of lijst) van alle eindige groepen leidt al snel tot moeilijke en diepe wiskunde. Een dergelijke indeling is volgens de classificatiestelling mogelijk. Als gevolg van de stelling van Lagrange zijn eindige groepen van orde een priemgetal ${displaystyle p}$, noodzakelijkerwijs cyclische, dus abelse groepen, isomorf met ${displaystyle mathbb {Z} _{p}}$. Van groepen van orde ${displaystyle p^{2}}$ kan men aantonen dat zij abels zijn, een stelling die niet meer geldt voor groepen van orde ${displaystyle p^{3}}$, zoals de niet-abelse groep ${displaystyle D_{4}}$ van orde 8 = 2³ hierboven aantoont.^[53][54]

Computeralgebrasystemen kunnen worden gebruikt voor de lijst van kleine groepen, maar er is geen classificatie voor alle eindige groepen. Een tussentijdse stap is de classificatie van alle eindige enkelvoudige groepen. Een niet-triviale groep wordt enkelvoudig genoemd als zijn enige normaaldelers de triviale groep en de groep zelf zijn. De stelling van Jordan-Hölder gebruikt eindige enkelvoudige groepen als de bouwstenen voor alle eindige groepen.^[55]

De classificatie van alle eindige enkelvoudige groepen was een belangrijke prestatie in de hedendaagse groepentheorie. De winnaar van de Fieldsmedaille in 1998, Richard Borcherds slaagde erin om een verrassend en diep verband te bewijzen tussen de monstergroep, de grootste eindige enkelvoudige sporadische groep, tussen zekere modulaire functies, die een onderdeel vormen van de complexe functietheorie, en de snaartheorie. Deze laatste theorie wordt geacht de beschrijving van een groot aantal natuurkundige verschijnselen in zich te verenigen.^[56] Voordat het verband door Borcherds werd bewezen, werd het het vermoeden van de monsterlijke maneschijn genoemd.

Hogere groepentheorie

Het enumeratieprobleem voor eindige groepen is herleidbaar tot het enumeratieprobleem van eindige enkelvoudige groepen.

Een eindige enkelvoudige groep behoort tot een van de volgende 5 families van groepen:

• Cyclische groepen
• Alternerende groepen
• Chevalley-groepen
• Eindige groepen van Lie-type (niet te verwarren met Lie-groepen)
• De lijst der 26 Sporadische groepen

Alleen de familie der sporadische groepen is eindig.

Groepen met additionele structuur

Veel groepen zijn tegelijkertijd groepen en voorbeelden van andere wiskundige structuren. In de taal van de categorietheorie zijn ze groepsobjecten in een categorie, wat betekent dat ze objecten zijn (dat wil zeggen, voorbeelden van een andere wiskundige structuur) die verschijnen met transformaties (morfismen genoemd), die de groepsaxioma's nabootsen. Elke groep, zoals hierboven gedefinieerd, is bijvoorbeeld ook een verzameling, een groep is dus een groepsobject in de categorie van verzamelingen, Set.

Topologische groepen

Zie Topologische groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Sommige topologische ruimten kunnen zijn uitgerust met een groepswet. Om de groepswet en de topologie goed met elkaar te verweven, moeten de groepsbewerkingen continue functies zijn, dat wil zeggen dat ${displaystyle gcirc h}$ en ${displaystyle g^{-1}}$ niet wild mogen variëren als ${displaystyle g}$ en ${displaystyle h}$ slechts een klein beetje verschillen. Dergelijke groepen worden topologische groepengenoemd. Zij zijn de groepsobjecten in de categorie van topologische ruimten^[57] De elementairste voorbeelden zijn de reële getallen${displaystyle mathbb {R} }$ onder optelling, ${displaystyle (mathbb {R} setminus {0},,cdot ,)}$, en op soortgelijke wijze enig ander topologisch veld, zoals de complexe- of de ${displaystyle p}$-adische getallen. Al deze groepen zijn lokaal compact en hebben dus Haar-maten en kunnen bestudeerd worden met behulp van de harmonische analyse.

De eerdere biedt een abstract formalisme van invariante integralen. In het geval van reële getallen betekent invariantie bijvoorbeeld:

${displaystyle int f(x),mathrm {d} x=int f(x c),mathrm {d} x}$

voor elke constante ${displaystyle c}$. Matrixgroepen over deze velden vallen onder dit regime, net zoals adele-ringen en adelische algebraïsche groepen, beide begrippen die fundamenteel zijn in de getaltheorie^[58]. Galoisgroepen van oneindige velduitbreidingen, zoals de absolute Galoisgroep, kunnen ook worden uitgerust met een topologie, de zogenaamde Krull-topologie. Deze is op zijn beurt centraal in de veralgemening van de hierboven geschetste aansluiting van velden en groepen tot oneindige velduitbreidingen^[59]. Een geavanceerde veralgemening van dit idee, aangepast aan de behoeften van de algebraïsche meetkunde, is de étale fundamentaalgroep^[60].

Lie-groepen

Zie Lie-groep voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Lie-groepen (zo genoemd ter ere van de NoorsewiskundigeSophus Lie) zijn groepen die ook een variëteitsstructuur hebben, dat wil zeggen dat het ruimten zijn, die er lokaal uitzien als een Euclidische ruimte van de geëigende dimensie^[61] Ook hier moet de additionele structuur, hier de variëteitsstructuur, verenigbaar zijn, dat wil zeggen dat de afbeeldingen die corresponderen met vermenigvuldiging en de inverse glad moeten zijn.

Een standaard voorbeeld is de hierboven geïntroduceerde algemene lineaire groep: het is een open deelverzameling van de ruimte van alle ${displaystyle n imes n}$-matrices, omdat hij wordt gegeven door de ongelijkheid

${displaystyle det(A)eq 0}$,

waarin ${displaystyle A}$ een ${displaystyle n imes n}$-matrix is^[62].

Lie-groepen zijn van fundamenteel belang in de natuurkunde: de stelling van Noether verbindt continue symmetrieën met de behoudswetten^[63]. Zowel rotatie als translatie in ruimte en tijd zijn fundamentele symmetrieën van de wetten van de mechanica. Zij kunnen bijvoorbeeld worden gebruikt om eenvoudige modellen te construeren - waarbij bijvoorbeeld axiale symmetrie aan een situatie wordt opgelegd, wat doorgaans zal leiden tot een aanzienlijke vereenvoudiging van de vergelijkingen, die men moet oplossen om een natuurkundige beschrijving te geven. Een ander voorbeeld zijn de Lorentz-transformaties, die metingen van tijd en snelheid van twee ten opzichte van elkaar in beweging zijnde waarnemers aan elkaar relateert. Ze kunnen worden gededuceerd op een zuiver groepstheoretische manier, door de transformaties uit te drukken als een draaisymmetrie van de Minkowski-ruimte. Deze Minkowski-ruimte fungeert - in geval van significante zwaartekracht - als een model van de ruimtetijd in de speciale relativiteitstheorie.^[64] De volledige symmetriegroep van de Minkowski-ruimte, dat wil zeggen inclusief translaties, staat bekend als de Poincaré-groep. Door het bovenstaande speelt deze een centrale rol in de speciale relativiteitstheorie en, bij implicatie, voor de kwantumveldentheorieën^[65]. Symmetrieën die per locatie variëren staan centraal in de moderne beschrijving van de fysieke interacties met behulp van ijktheorieën^[66].

Generalisaties

In de abstracte algebra kunnen meer algemene wiskundige structuren worden gedefinieerd door een aantal van de groepsaxioma's, die een groep definiëren, af te zwakken^[67][68][69]. Als men bijvoorbeeld de eis, dat elk element een inverse moet hebben, laat vallen, wordt de dan resulterende algebraïsche structuur een monoïde genoemd. De natuurlijke getallen${displaystyle mathbb {N} }$ (inclusief 0) vormen voor de groepsbewerking optelling een monoïde, net als de gehele getallen ongelijk aan 0 doen onder de groepsbewerking vermenigvuldiging ${displaystyle (mathbb {Z} setminus {0},,cdot ,)}$, zie hierboven. Er is een algemene methode om op formele wijze inversen van elementen op te tellen bij elke (abelse) monoïde, bijna op dezelfde manier als ${displaystyle (mathbb {Q} setminus {0},,cdot ,)}$ wordt afgeleid van ${displaystyle (mathbb {Z} setminus {0},,cdot ,)}$. Het resultaat van deze formele methode staat bekend als de Grothendieck-groep.

Groepoïden zijn vergelijkbaar met groepen, behalve dat de groepsbewerking ${displaystyle a*b}$ niet hoeft te worden gedefinieerd voor alle ${displaystyle a}$ en ${displaystyle b}$. Zij ontstaan in de studie van meer ingewikkelde vormen van symmetrie, vaak in topologische en analytische structuren, zoals de fundamentele groupoïde. Ten slotte is het mogelijk om elk van deze concepten te generaliseren door de binaire operatie te vervangen door een operatie met een willekeurige ariteit${displaystyle n}$ (dat wil zeggen een operatie waarbij ${displaystyle n}$ argumenten in het spel zijn). Met de juiste generalisatie van de groepsaxioma's geeft dit aanleiding tot een groep met ariteit ${displaystyle n}$.^[70]

Zie ook

• Enkelvoudige groep
• Euclidische groep
• Fundamentaalgroep
• Groepsalgebra
• Groepsring
• Grothendieck-groep
• Lichaam of veld
• Lijst van kleine groepen
• Ring
• Symmetrie in de natuurkunde
• Vrije groep

Voetnoten

Referenties

Primaire referenties

• (en) Artin, Michael, Algebra, Prentice Hall, 1991, isbn=978-0-89871-510-1, hoofdstuk 2 bevat een uiteenzetting op de bachelor van diverse in dit artikel besproken begrippen.
• (en) Devlin, Keith, The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible, 2000, Owl Books, isbn=978-0-8050-7254-9, hoofdstuk 5 geeft een voor de leek toegankelijke uitleg van wat groepen precies zijn.
• (en) George G. Hall, Applied group theory, American Elsevier Publishing Co., Inc., 1967, New York, een elementaire inleiding.
• (en) Herstein, Israel Nathan, Abstract algebra, Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, NJ, 3e editie, isbn=978-0-13-374562-7, 1996.
• (en) Herstein, Israel Nathan, Topics in algebra, Xerox College Publishing, Lexington, Mass. 2e editie, 1975.
• (en) Lang. Serge, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised 3e ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , 2002.
• (en) Lang. Serge, Undergraduate Algebra, Springer-Verlag, Berlin, New York, 3e editie, isbn=978-0-387-22025-3, 2005.
• (en) Ledermann, Walter, Introduction to the theory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh and London, 1953.
• (en) Ledermann, Walter, Introduction to group theory, Barnes and Noble, New York, 1973.
• (en) Robinson, Derek John Scott, A course in the theory of groups, Springer-Verlag, Berlin, New York, 1996, isbn=978-0-387-94461-6.

Secundaire referenties

• (en) Artin, Emil, Galois Theory, Dover Publications, New York, isbn=978-0-486-62342-9
• (en) Rudin, Walter, Fourier Analysis on Groups, Wiley-Blackwell, Wiley Classics, 1990, isbn=047152364X.
• (en) Weyl, Hermann, Symmetry, Princeton University Press, 1952, isbn=978-0-691-02374-8.