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Beispiel für einen dichtesten Kugelstapel

gestapelte Kanonenkugeln
1861

Es Modell mit harter Glühbirne ist ein Model vor dem AngelegenheitVerfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Moleküle oder sonst die Bestandteile als harte Kugeln dargestellt sind. Die Kugeln sind nicht verformbar, können also nicht gestaucht oder durchdrungen werden.

Geschichte

Thomas Harriot um 1585 wurde in Auftrag gegeben von Sir Rayleigh war der erste, der das Stapeln von Kanonenkugeln auf dem Schiffsdeck berechnete.^[1]Johannes Kepler war der erste, der 1611 den Verdacht äußerte, dass es eine Höchstgrenze für gestapelte Kugeln gibt Verpackungsfaktor existiert, hat aber seine Vermutung noch nicht bewiesen. Der Verdacht wurde ihm Keplers Vermutung^[2] erwähnt. Carl Friedrich Gauß gab 1831 keinen allgemeinen Beweis, konnte aber beweisen, dass es dichtester Kugelstapel ist, wenn die Kugeln in einer regelmäßigen Zeitplan Lüge. Thomas Hales erst 1998 mit großer Sicherheit gezeigt, dass der angegebene Packungsfaktor das maximal erreichbare ist.^[3] Wu-Yi Hsiang behauptete, die Beweise 1990 gefunden zu haben, aber dies wird nicht allgemein anerkannt. Hales baute auf früheren Arbeiten von . auf Laszló Fejes Toth ab 1953.

Gestapelte Kugeln

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für harte Kugeln, sie so zu stapeln, dass sie dichtester Glühbirnenstapel holen. Das Verpackungsfaktor denn dieser hat folgenden Wert:

${displaystyle eta ={frac {pi }{3{sqrt {2}}}}simeq 0.74048}$

Mit anderen Worten, in ein Kubikvolumen von 1000 Litern passen 740 Kugeln zu je 1 Liter.

Wenn die Kugeln würfelförmig gestapelt sind, primitiv kubisch, ergibt den kleinstmöglichen Packungsfaktor:

${displaystyle eta ={frac {pi }{6}}simeq 0.52360}$

Falls die Glühbirnen sechseckig, aber direkt übereinander, in Lagen gestapelt, ist der Packungsgrad höher:

${displaystyle eta ={frac {pi }{3{sqrt {3}}}}simeq 0.60640}$

Wenn die Kugeln, seien es Kanonenkugeln oder Orangen, zufällig verteilt sind, ist die maximale Packungsdichte offenbar noch höher.

${displaystyle eta=0,6366pm 0,0004}$

Mit anderen Worten, in ein Volumen von 1000 Litern passen nur 636 Kugeln zu je 1 Liter, wenn sie willkürlich aufliegen, aber dennoch aneinander geschüttelt werden.

Der obige Wert für a amorph Struktur ist nah:

${displaystyle {frac {2}{pi }}simeq 0.63662}$

Es gibt keine geometrische Beziehung, aber der Durchschnitt der kubischen 0,524 und der nächsten Stapelung 0,740 beträgt 0,632.

Sowohl die kubische als auch die hexagonale Struktur treten in vielen Fällen des gleichen Elements auf, da der Unterschied in freie Energie zwischen den verschiedenen metastabil, allotrop Kristallstrukturen ist im Allgemeinen klein.

hartes Kolbengas

Ein Gas mit harter Kugel ist ein Modell für Moleküle, die Gasphase ziehen sich nicht an, sondern nur Ablehnung erleben, sobald sie sich berühren. Die Eigenschaften dieses Gases können sein: Virialgleichung sind beschrieben.

Definition für die Abstoßung

Hartkugeln mit Radius ${Displaystil-Sigma}$ haben das folgende Paar von Interaktionspotentialen:

${displaystyle V(mathbf {r} _{1},mathbf {r} _{2})=left{{ egin{matrix}0&{mbox{if}}quad |mathbf {r} _{1}-mathbf { r} _{2}|geq 2sigma /infty &{mbox{if}}quad |mathbf {r} _{1}-mathbf {r} _{2}|<2sigma end{matrix}}ight.}$

mit ${displaystyle mathbf {r} _{1}}$ und ${displaystyle mathbf {r} _{2}}$ die Position der Kugeln 1 und 2.

Mit dieser Gleichung können die Virialkoeffizienten berechnet werden.

Virialkoeffizienten

Die Berechnung der Virialkoeffizienten ist ein bekanntes Thema in der Statistische Thermodynamik. Die ersten drei Virialkoeffizienten für harte Kugeln können analytisch abgeleitet werden. Diese sind:

${displaystyle {frac {B_{2}}{v_{0}}}}$	=	${displaystyle 4{frac {}{}}}$
${displaystyle {frac {B_{3}}{{v_{0}}^{2}}}}$	=	${displaystyle 10{frac {}{}}}$
${displaystyle {frac {B_{4}}{{v_{0}}^{3}}}}$	=	${displaystyle -{frac {712}{35}} {frac {219{sqrt {2}}}{35pi }} {frac {4131}{35pi }}arccos {frac {1}{sqrt {3}}}ca 18.365}$

Höhere Bestellungen können passieren Monte-Carlo-Simulation angefahren werden. Die Genauigkeit dieser Methode steigt, je mehr Kugeln in der Simulation verwendet werden. Die Berechnung auf diese Weise nimmt viel weniger Zeit in Anspruch. Es wurden folgende Werte gefunden:

${displaystyle {frac {B_{5}}{{v_{0}}^{4}}}}$	=	${displaystyle 28.24pm 0.08}$
${displaystyle {frac {B_{6}}{{v_{0}}^{5}}}}$	=	${Displaystil 39.5pm 0.4}$
${displaystyle {frac {B_{7}}{{v_{0}}^{6}}}}$	=	${displaystyle 56.5pm 1.6}$

Die Beschreibungen von Hartkugelgasen sind ein Grenzfall für die Beschreibung von Gasmolekülen in der statistischen Thermodynamik und bieten somit eine Möglichkeit, die Abstoßung von Molekülen zu modellieren. Mit der obigen Definition für das Paarpotential in einem Gas mit harter Kugel kann man jedoch nicht Phasenübergänge, zum Flüssigphase, zu modellieren. Dazu ist auch ein attraktives Zusammenspiel notwendig, wie z Van der Waalsgas.