WikiDer > Инвариант Хассе алгебры

Hasse invariant of an algebra

В математика, то Инвариант Хассе алгебры инвариант, прикрепленный к Класс Брауэра из алгебры над полем. Концепция названа в честь Хельмут Хассе. Инвариант играет роль в теория поля локальных классов.

Местные поля

Позволять K быть местное поле с оценкой v и D а K-алгебра. Мы можем предположить D это алгебра с делением с центром K степени п. Оценка v может быть расширен до D, например, совместимо распространяя его на каждое коммутативное подполе D: группа значений этой оценки (1 /п)Z.[1]

Есть коммутативное подполе L из D который неразветвлен K, и D раскалывается L.[2] Поле L не единственно, но все такие расширения сопряжены Теорема Сколема – Нётер, что далее показывает, что любой автоморфизм L индуцируется сопряжением в D. Возьмем γ в D такое, что сопряжение с помощью γ индуцирует автоморфизм Фробениуса L/K и разреши v(γ) = k/п. потом k/п по модулю 1 - инвариант Хассе D. Это зависит только от класса Брауэра. D.[3]

Таким образом, инвариант Хассе - это отображение, определенное на Группа Брауэра из местное поле K к делимая группа Q/Z.[3][4] Каждый класс в группе Брауэра представлен классом в группе Брауэра неразветвленного расширения L/K степени п,[5] который по Теорема Грюнвальда – Ванга и Теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер мы можем принять за циклическая алгебра (L, φ, πk) для некоторых k мод п, где φ - Карта Фробениуса и π униформизатор.[6] Инвариантная карта прикрепляет элемент k/п мод 1 в класс. Это показывает инвариантное отображение как гомоморфизм

Инвариантное отображение продолжается до Br (K), представляя каждый класс некоторым элементом Br (L/K) как указано выше.[3][4]

Для неархимедова локального поля инвариантное отображение является групповой изоморфизм.[3][7]

В случае поля р из действительные числа, существует два класса Брауэра, представленные алгеброй р сам и кватернион алгебра ЧАС.[8] Классу инвариантного нуля удобно присвоить р и инвариант 1/2 по модулю 1 к классу кватернионов.

В случае поля C комплексных чисел единственный класс Брауэра - тривиальный, с инвариантом нуля.[9]

Глобальные поля

Для глобального поля K, учитывая центральную простую алгебру D над K затем для каждой оценки v из K мы можем рассматривать расширение скаляров Dv = D ⊗ Kv Расширение Dv разбивается на все, кроме конечного множества v, таким образом локальный инвариант из Dv почти всегда равен нулю. Группа Брауэра Br (K) вписывается в точная последовательность[8][9]

куда S - множество всех оценок K а правая стрелка - сумма локальных инвариантов. Приемлемость левой стрелки - это содержание Теорема Альберта – Брауэра – Хассе – Нётер. Точность в среднем сроке - глубокий факт от теория поля глобальных классов.

Рекомендации

  1. ^ Серр (1967) стр.137
  2. ^ Серр (1967), стр.130,138
  3. ^ а б c d Серр (1967) стр.138
  4. ^ а б Лоренц (2008) стр.232
  5. ^ Лоренц (2008), стр.225–226
  6. ^ Лоренц (2008) стр.226
  7. ^ Лоренц (2008) стр.233
  8. ^ а б Серр (1979) стр.163
  9. ^ а б Гилле и Самуэли (2006) стр.159
  • Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006). Центральные простые алгебры и когомологии Галуа. Кембриджские исследования в области высшей математики. 101. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001.
  • Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы. Springer. С. 231–238. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001.
  • Серр, Жан-Пьер (1967). «VI. Теория поля локальных классов». В Касселс, J.W.S.; Фрёлих, А. (ред.). Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза. Лондон: Academic Press. С. 128–161. Zbl 0153.07403.
  • Серр, Жан-Пьер (1979). Местные поля. Тексты для выпускников по математике. 67. Переведено Гринберг, Марвин Джей. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016.

дальнейшее чтение