WikiDer > Homologietheorie

In dem algebraische Topologie, eine Unterregion der Mathematik, wird verstanden unter Homologietheorie das axiomatisch Studium der intuitiven geometrischen Idee von a Homologie der Zyklen auf der topologischer Raum. Die Homologietheorie kann grob definiert werden als das Studium von Homologietheorien auf topologischen Räumen.

Die allgemeine Idee

EIN torus mit Generatoren in Pink und Rot.

mit jedem topologischer Raum${Anzeigestil X}$ und jede natürliche Zahl${displaystyle k}$ kann man Sammlung${Displaystil H_{k}(X)}$ Partner, von dem die Elemente (${displaystyle k}$-dimensional) werden Homologieklassen genannt. Es gibt einen wohldefinierten Weg, Homologieklassen hinzuzufügen und zu subtrahieren. Dieser Weg macht ${Displaystil H_{k}(X)}$ zu einer abelsche Gruppe, welche de ${displaystyle k}$-e Homologiegruppe ${Anzeigestil X}$ Anrufe. Heuristisch betrachtet sind Größe und Struktur von ${Anzeigestil H_{k}(X)}$ Informationen zur Nummer ${displaystyle k}$-dimensionale Löcher in ${Anzeigestil X}$. wenn ${Anzeigestil X}$ zum Beispiel ist die Zahl acht, dann hat ${Anzeigestil X}$ zwei Löcher, die in diesem Zusammenhang als eindimensional gelten. Die entsprechende Homologiegruppe ${Displaystil H_{1}(X)}$ kann mit der Gruppe identifiziert werden ${displaystyle mathbb {Z} plus mathbb {Z} }$ von Paaren von ganze Zahlen, mit einer Kopie von ${displaystyle mathbb {Z} }$ für jedes Loch. Obwohl es sehr offensichtlich scheint, das zu sagen ${Anzeigestil X}$ zwei Löcher hat, ist es überraschend schwierig, dies mathematisch streng zu formulieren. Die Etablierung einer solch strengen Formulierung ist ein zentrales Ziel der Homologietheorie.