WikiDer > Hyperrechteck

Hyperrechthoek

Zweidimensionale Projektion eines vierdimensionalen Hyperrechtecks

In dem Geometrie ist ein Hyperrechteck die Verallgemeinerung in beliebig vielen Dimensionen eines zweidimensionalen Rechteck und ein dreidimensionales Strahl. EIN Hyperwürfel ist ein Spezialfall eines Hyperrechtecks.

Definition

Ein Sonderfall ${Anzeigestil H}$ von a Hyperrechteck in dem ${displaystyle n}$ -dimensionaler Raum ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ ist der kartesisches Produkt von ${displaystyle n}$ Real Intervalle ${Anzeigestil [a_{i},b_{i}]}$ mit ${displaystyle a_{i}leq b_{i}}$ vor dem ${displaystyle i=1,ldots,n}$ , So:

{displaystyle H=prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]=[a_{1},b_{1}] imes [a_{2},b_{2}] imes ldots imes [a_{n},b_{n}]}

.

Eine zufällige Hyperrechteck ist das Bild unter a isometrisch Bild des Sonderfalls.

Beispiele

Vor dem ${Anzeigestil n=1}$ man bekommt ein Intervall, für ${Anzeigestil n=2}$ ein Rechteck und für ${Anzeigestil n=3}$ ein Balken.

Im Sonderfall, dass alle Intervalle gleich dem Einheitsintervall ${displaystyle[0,1]}$ , das Hyperrechteck ist ein Einheitshyperwürfel.

{displaystyle H=prod_{i=1}^{n}[0.1]=[0.1]^{n}}

.

Eigenschaften

Kantenelemente

Vor dem ${displaystyle ngeq 2}$ hat alle ${displaystyle n}$ -dimensionales Hyperrechteck

${Displaystil 2^{n}}$ Scheitelpunkte,
${Displaystil n2^{n-1}}$ Rippen, die gerade aufeinander liegen
${Displaystil 2n}$ Seitenflächen, die wiederum Hyperrechtecke der Dimension . sind ${Anzeigestil n-1}$ sein.

Insgesamt wird a ${displaystyle n}$ -dimensionales Hyperrechteck um

{displaystyle { inom {n}{k}}cdot 2^{n-k}}

Hyperrechtecke der Dimension ${displaystyle k}$ begrenzt, wo ${displaystyle kin {0,ldots,n-1}}$ ist.

Volumen und Fläche

Es Volumen eines Hyperrechtecks ${displaystyle H=prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]=[a_{1},b_{1}] imes [a_{2},b_{2}] imes ldots imes [a_{n},b_{n}]}$ ist

{displaystyle operatorname {vol} (H)=prod_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})=(b_{1}-a_{1})cdot (b_{2} -a_{2})Punkte (b_{n}-a_{n})}

.

Dies ist der Ausgangspunkt für die Bestimmung des Volumens von viel allgemeineren Mengen, wie bei der Konstruktion der ${displaystyle n}$ -dimensional lebesgue kamerad wird klar.

Das Oberfläche beläuft sich auf:

{displaystyle operatorname {vol} (partial H)=2sum _{j=1}^{n}prod _{i=1 auf ieq j}^{n}(b_{i}-a_{i})}

.

Externer Link

MathWorld Orthopädie

Navigation