WikiDer > Lebesgue-Größe

In dem Maßtheorie, eine Unterregion der Mathematik, ist ein lebesgue kamerad, benannt nach dem FranzösischMathematikerHenri Lebesgue, der Standardweg Länge, ein Oberfläche oder ein Volumen, im Allgemeinen eine Größe, zu Teilmengen des euklidischer Raum in Übereinstimmung mit der allgemeinen Verwendung dieser Bedingungen. Das lebesgue-Maß von a Intervall ist also seine normale Höhe, a Rechteck hat so viel Fläche wie Länge mal Breite und ein Strahl (Block) hat seine Volumen, also Länge mal Breite mal Höhe als Maß. Auch in höheren Dimensionen ist das Lebesgue-Maß des Analogons eines Rechtecks ​​oder Balkens, de Hyperrechteck, das Produkt der Rippenlängen. Das Lebesgue-Maß wird durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt. Das Konzept wird überall verwendet echte Analyse verwendet, insbesondere um lebesgue-integration definieren. Kollektionen denen eine Maßnahme zugeordnet werden kann, sind lebesgue-messbar erwähnt und die Lautstärke oder die messen einer lebesgue messbaren Menge ${Anzeigestil A}$ wird normalerweise mit . bezeichnet ${Anzeigestil Lambda(A)}$. Ein lebesgue Kumpel kann ∞ sind, und es gibt auch unter der Voraussetzung der Axiom der Wahlnicht messbare Sammlungen, einschließlich Teilmengen eines reellen Intervalls.

Das "seltsame" Verhalten von nicht messbaren Mengen wird durch die banach-tarski paradox.

Geschichte

Henri Lebesgue beschrieb die lebesgue-Maßnahme 1901 und im folgenden Jahr die lebesgue integral. Beide Konzepte wurden 1902 als Teil seiner These veröffentlicht.^[1]

Beispiele

• wenn ${Anzeigestil A}$ ein geschlossenes Intervall${Anzeigestil [a,b]}$, dann das lebesgue-Maß von ${Anzeigestil A}$ die Länge ${Anzeigestil b-a}$. Das offene Intervall ${Anzeigestil (a,b)}$ hat die gleiche Größe, da es Unterschied zwischen den beiden setzt das Maß Null hast.
• wenn ${Anzeigestil A}$ ein kartesisches Produkt ist von den Intervallen ${Anzeigestil [a,b]}$ und ${Anzeigestil [c,d]}$, dann ist ${Anzeigestil A}$ ein Rechteck und ist das lebesgue-Maß von ${Anzeigestil A}$ gleich der Oberfläche ${Anzeigestil (b-a)(d-c)}$ dieses Rechtecks.
• Das Kantorensammlung ist ein Beispiel für a unzählbare Sammlung das hat lebesgue größe null.

Eigenschaften

Erhöhen Sie die lebesgue-Größe ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ hat folgende Eigenschaften:

1. Wenn das Hyperrechteck ${Anzeigestil A}$ es kartesisches Produkt ist von der Intervalle${displaystyle I_{1},I_{2},ldots ,I_{n}}$: ${displaystyle A=I_{1} imes I_{2} imes ldots imes I_{n}}$, dann ist ${Anzeigestil A}$ lebesgue-messbar und ist das Maß für ${Anzeigestil A}$ gleich dem Produkt der Längen der Intervalle: ${Displaystil Lambda (A)=|I_{1}|cdot |I_{2}|cdot ldots cdot |I_{n}|}$. Hier steht ${Anzeigestil |I|}$ für die Länge des Intervalls ${Anzeigestil I}$.
2. wenn ${Anzeigestil A}$ ein disjunkte Assoziation von endlich viel oder abzählbar viele disjunkte lebesgue messbare Mengen, dann ist ${Anzeigestil A}$ selbst lebesgue-messbar und ist ${Anzeigestil Lambda(A)}$ gleich der Summe (oder unendliche Serie) der Maße der betroffenen Messgrößen.
3. wenn ${Anzeigestil A}$ lebesgue ist messbar, dann ist es ergänzen von ${Anzeigestil A}$ Das auch.
4. ${Anzeigestil Lambda(A)geq 0}$ für jeden messbaren lebesgue-Satz ${Anzeigestil A}$.
5. wenn ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ lebesgue-messbar und ${Anzeigestil A}$ ist eine Teilmenge von ${Anzeigestil B}$, dann ist ${Anzeigestil Lambda(A)leq Lambda(B)}$. Dies folgt aus 2, 3 und 4.
6. zählbar Verbände und halbiert der lebesgue-messbaren Mengen sind lebesgue-messbar. Dies folgt nicht aus 2 und 3, weil eine Familie von Mengen, die unter Komplementen und disjunkten abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen sind, nicht unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen werden müssen, wie aus: ${displaystyle {leermenge,{1,2,3,4},{1,2},{3,4},{1,3},{2,4}}}$.
7. wenn ${Anzeigestil A}$ ein Öffnen oder Geschlossen Teilmenge ist von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ (oder sogar a Borel-Sammlung, sehen metrischer Raum), dann ist ${Anzeigestil A}$ lebesgue-messbar.
8. wenn ${Anzeigestil A}$ ist eine lebesgue messbare Menge, dann ist ${Anzeigestil A}$ "ungefähr offen" und "ungefähr geschlossen" im Sinne einer lebesgue-Maßnahme (siehe die Regularitätssatz für das lebesgue-Maß).
9. Eine lebesgue-Maßnahme ist sowohl a lokal endlich wie ein interne reguläre Größe, und ist daher a Radongröße.
10. Eine Lebesgue-Größe ist strikt positiv auf einen nicht leeroffene Sammlung, und daher die Träger die gesamte ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$.
11. wenn ${Anzeigestil A}$ ist ein lebesgue messbares Set mit ${Anzeigestil Lambda(A)=0}$ (ein Nullmenge), dann ist jede Teilmenge von ${Anzeigestil A}$ auch eine Nullmenge. vom Stärkeren her ist eine Teilmenge von ${Anzeigestil A}$ messbar.
12. wenn ${Anzeigestil A}$ lebesgue ist messbar und ${Anzeigestil x}$ ist ein Element von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, dann ist die Übersetzung von ${Anzeigestil A}$ Über ${Anzeigestil x}$, definiert von ${displaystyle A x={a x|ain A}}$ auch lebesgue-messbar und hat die gleiche Größe wie ${Anzeigestil A}$.
13. wenn ${Anzeigestil A}$ lebesgue ist messbar und ${Anzeigestil-Delta >0}$, dann ist die Vertreibung von ${Anzeigestil A}$ durch ${Anzeigestil-Delta }$ definiert von ${Anzeigestil Delta A={Delta x:|xin A}}$ auch lebesgue-messbar und hat es die größe ${Displaystil-Delta ^{n}Lambda (A)}$.
14. Allgemeiner gesagt, wenn ${Anzeigestil T}$ ein lineare Transformation ist und ${Anzeigestil A}$ eine messbare Teilmenge von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, dann ist ${Anzeigestil T(A)}$ auch lebesgue-messbar und hat die größe ${Anzeigestil Lambda (T(A))=|det(T)|,Lambda (A)}$.

Die vierzehn Punkte oben lassen sich wie folgt kurz zusammenfassen:

"Die messbaren Mengen von Lebesgue bilden a σ-Algebra die alle Produkte von Intervallen enthält und wobei λ die Eindeutigkeit ist vollÜbersetzung-unveränderlichmessen ist auf dieser σ-Algebra mit ${ Anzeigestil Lambda ([0,1] imes [0,1] imes cdots imes [0,1])=1}$."

Das lebesgue-Maß hat auch die Eigenschaft, dass es σ-Ende ist.

Nullsätze

sehen Null Sammlung für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eine Teilmenge von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ ist ein Nullmenge, wenn sie für jeden ${Displaystil-Varepsilon >0}$ kann mit unzähligen Produkten von . abgedeckt werden ${displaystyle n}$ Intervalle, deren Gesamtvolumen höchstens gleich ${Anzeigestil Varepsilon }$. Alle zählbare Sammlungen sind auch Nullmengen.

Als Teilmenge von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ ein Hausdorff-Maß hat weniger als ${displaystyle n}$ dann ist diese Teilmenge eine Nullmenge bezüglich der ${displaystyle n}$-dimensionale Lebesgue-Maßnahme. Die Hausdorff-Dimension ist hier relativ zum Euklidische Metrik von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ (oder eine andere Metrik lipschitzÄquivalent davon). Auf der anderen Seite kann eine Sammlung a topologische Dimension weniger als ${displaystyle n}$ habe ein positives ${displaystyle n}$- haben dimensionales lebesgue-Maß. Ein Beispiel dafür ist die Sammlung Smith-Volterra-Cantor die eine topologische Dimension 0 und gleichzeitig auch ein positives eindimensionales Lebesgue-Maß hat.

Um zu zeigen, dass eine gegebene Menge ${Anzeigestil A}$ lebesgue ist messbar, man versucht meist eine "schönere" sammlung zu bekommen ${Anzeigestil B}$ zu finden, die nur von ${Anzeigestil A}$ unterscheidet sich durch eine Nullmenge (in dem Sinne, dass die symmetrischer Unterschied${Displaystil (A-B) Tasse (B-A)}$ ist eine Nullmenge). Es wird dann gezeigt, dass ${Anzeigestil B}$ kann durch abzählbare Assoziationen und Schnittmengen von offenen oder geschlossenen Mengen erzeugt werden.

Bau der lebesgue-Maßnahme

Die moderne Konstruktion der lebesgue-Maßnahme, basierend auf dem äußere Abmessungen, wurde eingetragen von Carathéodory. Der Aufbau geht wie folgt.

Im ${displaystyle nin mathbb {N} }$ Dimension wird zum "Volumen" ${Display-Operatorname {vol} (B)}$ des Hyperrechtecks ${displaystyle Bsubseteq mathbb {R} ^{n}}$ des Formulars

${displaystyle B=prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]}$,

in welchem ${displaystyle b_{i}geq a_{i}}$ definiert als das Produkt ${displaystyle prod_{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}$

Für jede Untermenge ${Anzeigestil A}$ von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ wird das äußere Maß ${Anzeigestil Lambda ^{*}(A)}$ definiert von:

${displaystyle lambda ^{*}(A)=inf {Bigl {}sum _{jin J}operatorname {vol} (B_{j}){Bigr }}}$,

in dem es infimum wird über alle abzählbaren Sammlungen von Hyperrechtecks ${displaystyle {B_{j}|jin J}}$ wessen Verein ${Anzeigestil A}$ drinnen.

Die Sammlung ${Anzeigestil A}$ ist dann Lebesgue messbar, wenn für alle Teilmengen ${displaystyle Ssubset mathbb {R} ^{n}}$

${Displaystil Lambda ^{*}(S)=Lambda ^{*}(Acap S) Lambda ^{*}(S-A)}$

Diese lebesgue messbaren Sets bilden ein σ-Algebra und das lebesgue-Maß ist definiert durch ${Anzeigestil Lambda (A) = Lambda ^{*} (A)}$ für jede messbare sammlung von lebesgue ${Anzeigestil A}$.

Laut der Theorem von Vitali gibt es eine Untermenge von reale Nummern${displaystyle mathbb {R} }$ was nicht lebesgue messbar ist. Es ist noch stärker: wenn ${Anzeigestil A}$ jede Untermenge von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ ist mit einem positiven Maß, dann hat ${Anzeigestil A}$ Teilmengen, die nicht Lebesgue-messbar sind.

Verhältnis zu anderen Größen

Das borelmaat entspricht dem Lebesgue-Maß auf den Mengen, für die es definiert ist. Es gibt jedoch viel mehr messbare Mengen von Lebesgue als messbare Mengen von Borel. Das Borel-Maß ist translationsinvariant, das Borel-Maß jedoch nicht völlig.

Das Haargröße kann auf jedem definiert werden lokal kompakttopologische Gruppe und ist eine Verallgemeinerung des lebesgue-Maß (${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ mit dem Operation Addition ist a lokale Kompaktgruppe).

Das Hausdorff Kumpel ist eine Verallgemeinerung des lebesgue-Maßes, die zum Messen der Teilmengen von . nützlich ist ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ von geringeren Abmessungen als ${displaystyle n}$, wie TeilSorten, zum Beispiel Flächen oder Kurven in ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ und fraktal Sammlungen.

Siehe auch

• Lebesgue . Dichtesatz

Fußnoten